Équation de droite passant par deux points

Énoncé

Déterminer l'équation réduite de la droite (AB) avec A(1 ; 3) et B(4 ; -3).

Indice : Calcule la pente m = y_B - y_A{x_B - x_A}, puis utilise y - y_A = m(x - x_A).

Correction

1. Étape 1 : On demande l'équation réduite, c'est-à-dire la forme y = mx + p. Deux nombres à trouver, dans cet ordre : la pente d'abord, l'ordonnée à l'origine ensuite. Pente et équation réduite : La pente de la droite passant par A(x_A\,;\,y_A) et B(x_B\,;\,y_B) vaut : [formule] Une fois m connue, l'équation s'écrit à partir de n'importe lequel des deux points : [formule] La pente mesure ce que la droite monte quand on avance de 1. Elle est négative ici, on peut le prévoir : quand x passe de 1 à 4, y descend de 3 à -3. La droite descend, donc m < 0.
2. Étape 2 : On calcule la pente, en soustrayant A à B des deux côtés : m = y_B - y_A{x_B - x_A} = -3 - 3{4 - 1} = -6{3} = -2 ⚠️ Au numérateur, -3 - 3 = -6 : on retranche 3 à -3, on ne les additionne pas. C'est le calcul le plus souvent raté de l'exercice. Le signe négatif confirme ce qu'on avait prévu : la droite descend.

   m = -2

3. Étape 3 : On écrit maintenant l'équation en partant de A(1\,;\,3) : y - 3 = -2\,(x - 1) On développe le membre de droite : y - 3 = -2x + 2 On isole y en ajoutant 3 des deux côtés : y = -2x + 5

   y = -2x + 5

4. Étape 4 : Contrôle : les DEUX points doivent vérifier l'équation. C'est la vérification qui compte, parce qu'elle teste tout le calcul d'un coup. Pour A(1\,;\,3) : -2 1 + 5 = -2 + 5 = 3 ✓ Pour B(4\,;\,-3) : -2 4 + 5 = -8 + 5 = -3 ✓ Les deux tombent juste. Si l'on avait construit l'équation à partir de B plutôt que de A, on aurait obtenu y + 3 = -2(x - 4), soit y = -2x + 8 - 3 = -2x + 5 — exactement la même droite. Le choix du point de départ est libre.

   A et B vérifient tous deux y = -2x + 5

5. Étape 5 : L'erreur classique : Soustraire dans des sens opposés en haut et en bas, en écrivant y_B - y_A{x_A - x_B} = -6{-3} = 2. La pente sort alors positive, donc la droite monte au lieu de descendre — et le contrôle sur B échoue immédiatement : 2 4 + 5 = 13 -3. À retenir : Écris toujours la fraction en pensant « arrivée moins départ, en haut comme en bas ». Et termine par le contrôle sur les deux points : c'est le seul qui vérifie à la fois la pente et l'ordonnée à l'origine, et il ne coûte que deux multiplications.