Équation cartésienne d'une droite

Énoncé

Donner un vecteur directeur et un vecteur normal de chaque droite : a) D_1 : 3x - 2y + 7 = 0 b) D_2 : y = -4x + 1 c) D_3 : x = 5

Indice : Pour ax + by + c = 0 : u(-b ; a) et n(a ; b).

Correction

1. Étape 1 : Une droite se décrit par deux sortes de vecteurs, et les confondre fausse tout le chapitre. Directeur et normal : Le vecteur directeur donne la direction de la droite : il la longe. Le vecteur normal lui est perpendiculaire : il la traverse à angle droit. Dans une équation cartésienne ax + by + c = 0 : [formule] Le normal se lit directement sur les coefficients, dans l'ordre. Le directeur s'en déduit en échangeant les deux coordonnées et en changeant un signe — c'est la rotation d'un quart de tour vue au chapitre précédent. ⚠️ Les trois droites ne sont pas données sous la même forme. Il faudra donc commencer par les ramener toutes à la forme cartésienne ax + by + c = 0, sans quoi la lecture des coefficients n'a aucun sens.
2. Étape 2 : a) L'équation 3x - 2y + 7 = 0 est déjà sous forme cartésienne. On lit les coefficients avec leurs signes : a = 3 et b = -2. n\,(3\,;\,-2) — les coefficients dans l'ordre. u\,(2\,;\,3) — on échange et l'on change le signe de ce qui devient l'abscisse : -b = 2 et a = 3. Contrôle : u n = 2 3 + 3 (-2) = 6 - 6 = 0 ✓ Les deux sont bien perpendiculaires.

   u\,(2\,;\,3) n\,(3\,;\,-2)

3. Étape 3 : b) L'équation y = -4x + 1 est sous forme réduite : on ne peut pas y lire les coefficients directement. On la ramène d'abord à la forme cartésienne en passant tout du même côté : y = -4x + 1 4x + y - 1 = 0 Maintenant a = 4 et b = 1 : n\,(4\,;\,1) et u\,(-1\,;\,4) Contrôle : (-1) 4 + 4 1 = 0 ✓

   u\,(-1\,;\,4) n\,(4\,;\,1)

4. Étape 4 : c) L'équation x = 5 décrit une droite verticale. Elle n'a pas de forme réduite — sa pente n'existe pas — mais elle a bien une forme cartésienne, à condition d'écrire le coefficient nul : x = 5 x - 5 = 0 1 x + 0 y - 5 = 0 Donc a = 1 et b = 0 : n\,(1\,;\,0) — horizontal, ce qui est logique : il traverse une droite verticale. u\,(0\,;\,1) — vertical, il longe la droite. 👉 C'est précisément le cas que la forme réduite ne sait pas décrire, et c'est pour cela que la forme cartésienne lui est préférée.

   u\,(0\,;\,1) n\,(1\,;\,0)

5. Étape 5 : Un contrôle valable dans tous les cas, et qui ne coûte rien : le produit scalaire des deux vecteurs trouvés doit être nul. | droite | u | n | u n | | --- | --- | --- | --- | | a) | (2\,;\,3) | (3\,;\,-2) | 6 - 6 = 0 ✓ | | b) | (-1\,;\,4) | (4\,;\,1) | -4 + 4 = 0 ✓ | | c) | (0\,;\,1) | (1\,;\,0) | 0 + 0 = 0 ✓ | 👉 Et une remarque utile : un vecteur directeur n'est pas unique. Tout multiple non nul convient — (4\,;\,6) irait aussi bien que (2\,;\,3) pour la droite a). Une réponse différente de la correction n'est donc pas forcément fausse : il suffit qu'elle soit colinéaire à celle attendue.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Échanger les deux vecteurs et annoncer u\,(3\,;\,-2) pour la question a). C'est le normal, pas le directeur. La confusion se propage ensuite à tout ce qui suit — équations de droites, perpendicularité, distances. Seconde erreur, plus discrète : passer du normal au directeur en échangeant les coordonnées sans changer de signe, et proposer (-2\,;\,3). Le produit scalaire vaudrait alors -6 - 6 = -12, très loin de zéro. À retenir : Le normal se lit tel quel dans l'équation, le directeur demande deux gestes : échanger, puis changer un signe. Et vérifie systématiquement par le produit scalaire — c'est un contrôle d'une seconde qui attrape les deux erreurs ci-dessus.