Coordonnées dans une base orthonormée : le poids d'un skieur

Énoncé

Dans un repère orthonormé (O ; i⃗, j⃗), où i⃗ est horizontal et j⃗ vertical vers le haut, une piste de ski descend en ligne droite. On considère les vecteurs e⃗(12/13 ; -5/13), qui suit la pente vers le bas, et f⃗(5/13 ; 12/13). a) Montrer que (e⃗, f⃗) est une base orthonormée. b) Le poids d'un skieur est représenté par le vecteur P⃗(0 ; -780), en newtons. Calculer P⃗ · e⃗ et P⃗ · f⃗. c) En déduire les coordonnées de P⃗ dans la base (e⃗, f⃗), et vérifier le résultat. d) Quelle part du poids entraîne le skieur le long de la pente ?

Indice : Dans une base orthonormée (e⃗, f⃗), les coordonnées d'un vecteur w⃗ sont w⃗ · e⃗ et w⃗ · f⃗.

Correction

1. Étape 1 : Décomposer une force selon la pente et selon la perpendiculaire à la pente, c'est écrire ses coordonnées dans une nouvelle base. Le produit scalaire les donne directement. Coordonnées dans une base orthonormée : Si (e⃗, f⃗) est une base orthonormée, tout vecteur w⃗ s'écrit w⃗ = x e⃗ + y f⃗ avec x = w⃗ · e⃗ y = w⃗ · f⃗ En effet, par bilinéarité, w⃗ · e⃗ = x e⃗ · e⃗ + y f⃗ · e⃗ = x × 1 + y × 0 = x, et de même pour y. ⚠️ Ce calcul suppose e⃗ · e⃗ = f⃗ · f⃗ = 1 et e⃗ · f⃗ = 0 : il faut donc commencer par vérifier que la base est orthonormée.
2. Étape 2 : a) Les normes, au carré : ‖e⃗‖² = 144/169 + 25/169 = 1 et ‖f⃗‖² = 25/169 + 144/169 = 1 Le produit scalaire : e⃗ · f⃗ = 12/13 × 5/13 + (-5/13) × 12/13 = 60/169 - 60/169 = 0 Les deux vecteurs sont de norme 1 et orthogonaux ; n'étant pas colinéaires, ils forment une base, et cette base est orthonormée.
3. Étape 3 : b) Avec P⃗(0 ; -780) : P⃗ · e⃗ = 0 × 12/13 + (-780) × (-5/13) = (3 900)/13 = 300 P⃗ · f⃗ = 0 × 5/13 + (-780) × 12/13 = -(9 360)/13 = -720 Le calcul se simplifie en remarquant que 780 = 13 × 60.

   P⃗ · e⃗ = 300 P⃗ · f⃗ = -720

4. Étape 4 : c) D'après la propriété rappelée, puisque la base est orthonormée : P⃗ = 300 e⃗ - 720 f⃗ Vérification. 300 e⃗ a pour coordonnées ((3 600)/13 ; -(1 500)/13) et -720 f⃗ a pour coordonnées (-(3 600)/13 ; -(8 640)/13). Leur somme vaut (0 ; -(10 140)/13) = (0 ; -780) ✓ Autre contrôle : 300² + 720² = 90 000 + 518 400 = 608 400 = 780² — la norme se conserve, comme il se doit dans une base orthonormée.

   P⃗ = 300 e⃗ - 720 f⃗

5. Étape 5 : d) La coordonnée selon e⃗ est positive : la composante du poids le long de la pente vaut 300 N, dirigée vers le bas de la piste. C'est elle qui entraîne le skieur, et elle représente 300/780 = 5/13 ≈ 38 % du poids. La composante perpendiculaire, -720 N, plaque le skieur contre la neige ; elle est compensée par la réaction de la piste. Pour une pente comme celle-ci, qui descend de 5 m pour 12 m à l'horizontale (environ 23°), c'est la plus grosse part du poids.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Garder (0 ; -780) comme coordonnées de P⃗ dans la nouvelle base : des coordonnées dépendent toujours de la base choisie. Autre piège : appliquer x = w⃗ · e⃗ dans une base qui n'est pas orthonormée, où cette formule est fausse. À retenir : Dans une base orthonormée, la coordonnée d'un vecteur selon un vecteur de base est son produit scalaire avec ce vecteur. Contrôle rapide : la somme des carrés des coordonnées redonne le carré de la norme.