Choisir la méthode de calcul du produit scalaire
Énoncé
Dans chacun des cas suivants, calculer AB⃗ · AC⃗ en choisissant la méthode la mieux adaptée.
a) AB = 4, AC = 5 et BAC = 2π/3.
b) Dans un repère orthonormé, A(1 ; 2), B(4 ; 3) et C(2 ; 6).
c) AB = 6, AC = 4 et BC = 5.
d) Le triangle ABC est rectangle en B, et AB = 7.
Indice : Regarde d'abord ce que l'énoncé donne : un angle, des coordonnées, trois longueurs, ou un angle droit.
Correction
- Étape 1 : Le produit scalaire a quatre expressions, et chacune convient à un type de données. Le travail consiste d'abord à lire l'énoncé.
| Données | Méthode |
| --- | --- |
| deux longueurs et l'angle | AB × AC × cos(BAC) |
| des coordonnées | xx' + yy' |
| trois longueurs | 1/2(AB² + AC² - BC²) |
| un projeté connu | ± AB × AH |
La troisième vient du développement de BC² = ‖AC⃗ - AB⃗‖².
- Étape 2 : a) On connaît deux longueurs et l'angle qu'elles forment :
AB⃗ · AC⃗ = 4 × 5 × cos(2π/3) = 20 × (-1/2) = -10
Le résultat est négatif, ce qui est cohérent avec un angle obtus.
AB⃗ · AC⃗ = -10
- Étape 3 : b) On connaît les coordonnées : AB⃗(3 ; 1) et AC⃗(1 ; 4), donc
AB⃗ · AC⃗ = 3 × 1 + 1 × 4 = 7
AB⃗ · AC⃗ = 7
- Étape 4 : c) On ne connaît que les trois longueurs. Comme BC⃗ = AC⃗ - AB⃗, on développe :
BC² = ‖AC⃗ - AB⃗‖² = AC² - 2 AB⃗ · AC⃗ + AB²
donc
AB⃗ · AC⃗ = 1/2(AB² + AC² - BC²) = 1/2(36 + 16 - 25) = 27/2
AB⃗ · AC⃗ = 27/2
- Étape 5 : d) Le triangle est rectangle en B : la droite (BC) est perpendiculaire à (AB), donc le projeté orthogonal de C sur (AB) est B lui-même. D'où :
AB⃗ · AC⃗ = AB × AB = 7² = 49
On n'a besoin ni de AC, ni de l'angle en A : la projection les rend inutiles.
AB⃗ · AC⃗ = 49
- Étape 6 : L'erreur classique :
En c), écrire 1/2(BC² - AB² - AC²) et trouver -27/2 : c'est confondre avec la formule qui part de ‖u⃗ + v⃗‖². Ici BC⃗ est une différence, AC⃗ - AB⃗, et le produit scalaire est retranché. En d), chercher à calculer AC et l'angle en A, alors que l'angle droit en B donne tout.
À retenir :
Avant de calculer un produit scalaire, demande-toi ce que tu connais : un angle, des coordonnées, trois longueurs ou un angle droit. Chaque cas a sa formule, et la bonne transforme le calcul en une ligne.