Projection et hauteur dans un triangle

Énoncé

Dans un triangle ABC, on note H le pied de la hauteur issue de C. On sait que H appartient au segment [AB], et que AB = 8, AH = 3 et CH = 4. a) Calculer AB⃗ · AC⃗, puis BA⃗ · BC⃗. b) Calculer AC, puis cos(BAC) de deux façons différentes. c) En déduire AB⃗ · BC⃗.

Indice : H est le projeté orthogonal de C sur (AB), vu de A comme de B.

Correction

1. Étape 1 : Le pied H de la hauteur issue de C est le projeté orthogonal de C sur (AB) : la figure fournit donc directement la projection dont on a besoin. Calculer par projection : Pour AB⃗ · AC⃗, on projette C sur (AB) en H ; le produit vaut AB × AH si H est du côté de B vu de A, et -AB × AH sinon. La question b) compare ensuite cette définition à la formule avec le cosinus : elles doivent donner le même nombre.
2. Étape 2 : a) Vu de A, le projeté H de C est sur [AB], donc du côté de B : AB⃗ · AC⃗ = AB × AH = 8 × 3 = 24 Vu de B, le même point H est du côté de A, et BH = AB - AH = 8 - 3 = 5 : BA⃗ · BC⃗ = BA × BH = 8 × 5 = 40

   AB⃗ · AC⃗ = 24 BA⃗ · BC⃗ = 40

3. Étape 3 : b) Le triangle AHC est rectangle en H, donc d'après le théorème de Pythagore : AC² = AH² + CH² = 9 + 16 = 25, d'où AC = 5. Première façon, par la formule avec le cosinus : AB⃗ · AC⃗ = AB × AC × cos(BAC), donc 24 = 8 × 5 × cos(BAC) et cos(BAC) = 24/40 = 3/5. Seconde façon, dans le triangle rectangle AHC : cos(BAC) = AH/AC = 3/5. Les deux valeurs coïncident : c'est exactement pourquoi les deux définitions du produit scalaire, par la projection et par le cosinus, donnent le même nombre.

   AC = 5 cos(BAC) = 3/5

4. Étape 4 : c) On a AB⃗ = -BA⃗, donc, par bilinéarité : AB⃗ · BC⃗ = -BA⃗ · BC⃗ = -40 Le signe est cohérent : placés à partir d'un même point, AB⃗ et BC⃗ forment un angle obtus, le supplémentaire de l'angle aigu ABC.

   AB⃗ · BC⃗ = -40

5. Étape 5 : Contrôle par les coordonnées. Dans le repère orthonormé où A(0 ; 0), B(8 ; 0), H(3 ; 0) et C(3 ; 4) : AB⃗(8 ; 0) · AC⃗(3 ; 4) = 24 ✓ BA⃗(-8 ; 0) · BC⃗(-5 ; 4) = 40 ✓ AB⃗(8 ; 0) · BC⃗(-5 ; 4) = -40 ✓
6. Étape 6 : L'erreur classique : En c), répondre 40 en croyant retrouver le produit de la question a). Les vecteurs AB⃗ et BC⃗ ne partent pas du même point : il faut d'abord retourner AB⃗ en -BA⃗, ce qui change le signe. Autre erreur : écrire AB⃗ · AC⃗ = AB × AC = 40, en oubliant de projeter. À retenir : Dans un triangle, le pied d'une hauteur est un projeté orthogonal tout trouvé : AB⃗ · AC⃗ = AB × AH dès que H est sur [AB]. Avant tout calcul, fais partir les deux vecteurs du même point.