Produit scalaire par projection dans un carré

Énoncé

ABCD est un carré de côté 6 et I est le milieu du côté [BC]. En utilisant des projections orthogonales, calculer : a) AB⃗ · AC⃗ b) AB⃗ · AI⃗ c) AD⃗ · AI⃗ d) IB⃗ · ID⃗

Indice : Pour AB⃗ · AM⃗, projette M sur la droite (AB) : si H est ce projeté, le produit vaut AB × AH quand H est du côté de B, et -AB × AH sinon.

Correction

1. Étape 1 : Dans une figure où les angles droits sont connus, la projection orthogonale donne le produit scalaire sans aucun calcul d'angle. Produit scalaire et projection orthogonale : Soient A, B, M trois points, avec A ≠ B, et H le projeté orthogonal de M sur la droite (AB). Alors : AB⃗ · AM⃗ = AB⃗ · AH⃗ Ce produit vaut AB × AH si H est sur la demi-droite d'origine A passant par B, et -AB × AH sinon. Dans un carré, les projetés sont des sommets ou des milieux : il suffit de les repérer.
2. Étape 2 : a) La droite (BC) est perpendiculaire à (AB) en B : le projeté orthogonal de C sur (AB) est donc B. Il est du côté de B, évidemment, d'où : AB⃗ · AC⃗ = AB × AB = 6 × 6 = 36

   AB⃗ · AC⃗ = 36

3. Étape 3 : b) Le point I est sur le segment [BC], donc lui aussi se projette en B sur (AB) : AB⃗ · AI⃗ = AB × AB = 36 Même résultat qu'en a), alors que C et I sont différents : tous les points de la droite (BC) ont le même projeté sur (AB), donc le même produit scalaire avec AB⃗.

   AB⃗ · AI⃗ = 36

4. Étape 4 : c) On projette maintenant I sur la droite (AD). Soit J le milieu de [AD] : la droite (IJ) est parallèle à (AB), donc perpendiculaire à (AD), et le projeté de I sur (AD) est J. Comme J est du côté de D et que AJ = 3 : AD⃗ · AI⃗ = AD × AJ = 6 × 3 = 18

   AD⃗ · AI⃗ = 18

5. Étape 5 : d) On projette D sur la droite (IB), c'est-à-dire sur (BC). La droite (DC) est perpendiculaire à (BC) en C : le projeté de D est donc C. Or I est le milieu de [BC], donc C est de l'autre côté de I par rapport à B, avec IC = 3 : IB⃗ · ID⃗ = -IB × IC = -3 × 3 = -9 Le produit est négatif : l'angle BID est obtus.

   IB⃗ · ID⃗ = -9

6. Étape 6 : Contrôle par les coordonnées. Dans le repère d'origine A où B(6 ; 0) et D(0 ; 6), on a C(6 ; 6) et I(6 ; 3), donc AB⃗(6 ; 0), AC⃗(6 ; 6), AI⃗(6 ; 3), AD⃗(0 ; 6), IB⃗(0 ; -3) et ID⃗(-6 ; 3) : AB⃗ · AC⃗ = 36, AB⃗ · AI⃗ = 36, AD⃗ · AI⃗ = 0 × 6 + 6 × 3 = 18, IB⃗ · ID⃗ = 0 × (-6) + (-3) × 3 = -9 ✓ Les deux méthodes donnent les mêmes valeurs, comme il se doit : ce sont deux expressions du même nombre.
7. Étape 7 : L'erreur classique : En c), multiplier AD par la longueur AI = 3√(5), sans projeter : on obtiendrait 18√(5) ≈ 40, plus du double de la bonne valeur. Le produit scalaire n'est pas le produit des longueurs, sauf si les deux vecteurs ont même direction et même sens. Et en d), oublier le signe : le projeté C de D tombe de l'autre côté de I par rapport à B, le produit est négatif. À retenir : Pour AB⃗ · AM⃗ dans une figure riche en angles droits, cherche le projeté de M sur (AB) : le produit vaut ± AB × AH, le signe dépendant du côté où tombe H. C'est souvent la méthode la plus rapide, sans repère ni cosinus.