Problème complet : triangle et Al-Kashi

Énoncé

Soit le triangle ABC avec A(0 ; 0), B(8 ; 0) et C(3 ; 5). a) Calculer les longueurs AB, AC et BC. b) Calculer AB AC et en déduire BAC (arrondir au dixième de degré). c) En utilisant Al-Kashi, retrouver ABC. d) En déduire BCA et calculer l'aire du triangle ABC.

Indice : Procède étape par étape : d'abord les longueurs, puis les angles avec le produit scalaire et Al-Kashi, enfin l'aire avec 1{2}ab(C).

Correction

1. Étape 1 : **a)** AB = 8. AC = 9 + 25 = 34. BC = (3-8)^2 + 25 = 25+25 = 50 = 52.
2. Étape 2 : **b)** AB(8 ; 0), AC(3 ; 5). AB AC = 24. (BAC) = 24{834} = 3{34}. BAC = (3{34}) 59{,}0°.
3. Étape 3 : **c)** Par Al-Kashi : AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC (ABC) 34 = 64 + 50 - 802 (ABC) 802 (ABC) = 80, donc (ABC) = 1{2}. ABC = 45°.
4. Étape 4 : **d)** BCA = 180° - 59{,}0° - 45° = 76{,}0°. Aire = 1{2} AB AC (BAC) = 1{2} 8 34 5{34} = 1{2} 8 5 = 20.