Problème complet : triangle et Al-Kashi

Énoncé

Soit le triangle ABC avec A(0 ; 0), B(8 ; 0) et C(3 ; 5). a) Calculer les longueurs AB, AC et BC. b) Calculer AB AC et en déduire BAC (arrondir au dixième de degré). c) En utilisant Al-Kashi, retrouver ABC. d) En déduire BCA et calculer l'aire du triangle ABC.

Indice : Procède étape par étape : d'abord les longueurs, puis les angles avec le produit scalaire et Al-Kashi, enfin l'aire avec 1{2}ab(C).

Correction

1. Étape 1 : Un problème complet, où les quatre questions s'appuient les unes sur les autres. L'intérêt est qu'il fait employer deux méthodes différentes pour calculer un angle, ce qui permet de les comparer. Les outils du chapitre, et quand les employer : - Produit scalaire en coordonnées : quand on connaît les points. C'est le plus direct. - Al-Kashi : quand on ne connaît que les longueurs, sans coordonnées. - Somme des angles : 180° dans tout triangle — le plus rapide pour le dernier angle. - Aire : A = 1{2} AB AC (BAC).
2. Étape 2 : a) On calcule les trois longueurs, avec A(0\,;\,0), B(8\,;\,0) et C(3\,;\,5) : AB = 8^2 + 0^2 = 8 AC = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34 BC = (3 - 8)^2 + (5 - 0)^2 = 25 + 25 = 50 = 52 Contrôle par l'inégalité triangulaire : 34 5{,}83 et 52 7{,}07, et l'on a bien 5{,}83 + 7{,}07 > 8. ✓

   AB = 8 AC = 34 BC = 52

3. Étape 3 : b) Les deux vecteurs partant de A sont AB\,(8\,;\,0) et AC\,(3\,;\,5) : AB AC = 8 3 + 0 5 = 24 On divise par le produit des normes : (BAC) = 24{8 34} = 3{34} 0{,}5145 BAC = (3{34}) 59{,}0°

   BAC 59{,}0°

4. Étape 4 : c) Ici l'énoncé impose Al-Kashi. L'angle cherché est en B, donc le côté qui lui fait face est AC — c'est lui qui va à gauche : AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC (ABC) On remplace, avec AC^2 = 34, AB^2 = 64 et BC^2 = 50 : 34 = 64 + 50 - 2 8 52 (ABC) 34 = 114 - 802\,(ABC)
5. Étape 5 : On isole le cosinus : 802\,(ABC) = 114 - 34 = 80 (ABC) = 80{802} = 1{2} = {2}{2} On reconnaît une valeur remarquable, donc l'angle est exact et non approché : ABC = 45°

   ABC = 45°

6. Étape 6 : d) Le troisième angle s'obtient par la somme des angles d'un triangle : BCA = 180° - BAC - ABC 180° - 59{,}0° - 45° = 76{,}0° Pour l'aire, on emploie la formule avec le sinus de l'angle en A. Or (BAC) se lit sur les coordonnées : AC\,(3\,;\,5) a une norme de 34 et une ordonnée de 5, donc (BAC) = 5{34}. A = 1{2} 8 34 5{34} = 1{2} 8 5 = 20

   BCA 76{,}0° A = 20

7. Étape 7 : Deux contrôles indépendants du calcul mené. L'aire, par la géométrie élémentaire. Le côté [AB] est porté par l'axe horizontal, il mesure 8 ; la hauteur issue de C est donc simplement son ordonnée, 5. D'où : A = 1{2} base hauteur = 1{2} 8 5 = 20 ✓ Même résultat, sans aucun sinus. Les angles. Leur somme doit valoir 180° : 59{,}0 + 45 + 76{,}0 = 180 ✓. Et l'ordre est cohérent — le plus grand angle (76°, en C) fait face au plus grand côté (AB = 8), le plus petit (45°, en B) fait face au plus petit (AC 5{,}83).
8. Étape 8 : L'erreur classique : Employer le cosinus dans la formule de l'aire. On calculerait alors 1{2} 8 34 3{34} = 12, c'est-à-dire la moitié du produit scalaire — un nombre qui n'a rien à voir avec une aire. Le repère qui les sépare : le cosinus mesure ce qui est aligné (d'où le produit scalaire, nul à angle droit), le sinus mesure ce qui est perpendiculaire (d'où l'aire, maximale à angle droit). À retenir : Sur un problème à plusieurs questions, cherche toujours un second chemin pour au moins un résultat : ici l'aire se retrouve par base × hauteur, et la somme des angles vérifie les trois d'un coup. Deux méthodes indépendantes ne se trompent pas de la même façon — c'est le contrôle le plus solide qui existe, et il ne coûte que deux lignes.