Lieu géométrique : cercle de diamètre [AB]

Énoncé

Soit A(-1 ; 2) et B(3 ; 4). a) Déterminer l'ensemble E des points M(x ; y) tels que MA MB = 0. b) Vérifier que le point C(3 ; 2) appartient à E. c) Que peut-on dire du triangle ACB ?

Indice : Exprime MA et MB en fonction de x et y, puis développe le produit scalaire.

Correction

1. Étape 1 : MA(-1-x ; 2-y) et MB(3-x ; 4-y).
2. Étape 2 : MA MB = (-1-x)(3-x) + (2-y)(4-y) = -3 + x + 3x - x^2 + 8 - 2y - 4y + y^2 Attention, reprenons : (-1-x)(3-x) = -3 + x - 3x + x^2 = x^2 - 2x - 3 (2-y)(4-y) = 8 - 2y - 4y + y^2 = y^2 - 6y + 8
3. Étape 3 : MA MB = x^2 - 2x - 3 + y^2 - 6y + 8 = x^2 + y^2 - 2x - 6y + 5 = (x-1)^2 - 1 + (y-3)^2 - 9 + 5 = (x-1)^2 + (y-3)^2 - 5
4. Étape 4 : **a)** MA MB = 0 (x-1)^2 + (y-3)^2 = 5. C'est le cercle de centre I(1 ; 3) et de rayon 5.
5. Étape 5 : **b)** Pour C(3 ; 2) : (3-1)^2 + (2-3)^2 = 4 + 1 = 5. Oui, C E. ✓
6. Étape 6 : **c)** CA CB = 0, donc le triangle ACB est **rectangle en C**.