Lieu géométrique : cercle de diamètre [AB]

Énoncé

Soit A(-1 ; 2) et B(3 ; 4). a) Déterminer l'ensemble E des points M(x ; y) tels que MA MB = 0. b) Vérifier que le point C(3 ; 2) appartient à E. c) Que peut-on dire du triangle ACB ?

Indice : Exprime MA et MB en fonction de x et y, puis développe le produit scalaire.

Correction

1. Étape 1 : Même condition qu'à l'exercice précédent, mais dans une configuration moins commode : les deux points ne sont plus alignés sur un axe, donc les deux variables interviendront dans les développements. Ensemble des points tels que MA MB = 0 : 1. Exprimer MA et MB en fonction de x et y. 2. Développer le produit scalaire. 3. Mettre chaque variable sous forme canonique. 4. Reconnaître le cercle et lire son centre et son rayon. 👉 Et l'on sait déjà, grâce à l'exercice précédent, ce qu'on doit trouver : le cercle de diamètre [AB]. On peut donc calculer son centre et son rayon dès maintenant, et s'en servir pour contrôler le résultat du développement — un contrôle posé avant le calcul vaut bien mieux qu'une relecture après.
2. Étape 2 : On exprime les deux vecteurs à partir de M(x\,;\,y), avec A(-1\,;\,2) et B(3\,;\,4) : MA\,(-1 - x\,;\,2 - y) MB\,(3 - x\,;\,4 - y) Le produit scalaire s'écrit donc : MA MB = (-1 - x)(3 - x) + (2 - y)(4 - y)
3. Étape 3 : On développe les deux produits séparément, en distribuant chaque terme du premier facteur sur chaque terme du second. Premier produit — attention au signe de départ, -1 - x : (-1 - x)(3 - x) = -3 + x - 3x + x^2 = x^2 - 2x - 3 Second produit : (2 - y)(4 - y) = 8 - 2y - 4y + y^2 = y^2 - 6y + 8 En additionnant : MA MB = x^2 - 2x - 3 + y^2 - 6y + 8 = x^2 - 2x + y^2 - 6y + 5
4. Étape 4 : On met maintenant chaque variable sous forme canonique, l'une après l'autre : x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9 En reportant les deux, sans oublier le +5 : MA MB = (x - 1)^2 - 1 + (y - 3)^2 - 9 + 5 = (x - 1)^2 + (y - 3)^2 - 5
5. Étape 5 : a) On traduit la condition : MA MB = 0 (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5 L'ensemble E est donc le cercle de centre I(1\,;\,3) et de rayon 5. Contrôle par le résultat annoncé d'avance : le milieu de [AB] vaut (-1 + 3{2}\,;\,2 + 4{2}) = (1\,;\,3) ✓, et AB = 4^2 + 2^2 = 20 = 25, dont la moitié est 5 ✓. Les deux concordent — le développement est juste.

   (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5

6. Étape 6 : b) On teste C(3\,;\,2) en remplaçant dans le membre de gauche : (3 - 1)^2 + (2 - 3)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5 On retrouve bien 5, le second membre. Donc C appartient à E. ✓

   C E

7. Étape 7 : c) Puisque C appartient à E, ses coordonnées vérifient la condition qui définit cet ensemble : CA CB = 0 Les vecteurs CA et CB sont donc orthogonaux, et le triangle ACB est rectangle en C. Vérifions-le directement, pour ne rien devoir à la seule appartenance : CA\,(-1 - 3\,;\,2 - 2) = (-4\,;\,0) et CB\,(3 - 3\,;\,4 - 2) = (0\,;\,2) CA CB = (-4) 0 + 0 2 = 0 ✓ Les deux vecteurs sont même l'un horizontal et l'autre vertical : l'angle droit se voit sans aucun calcul.

   ACB est rectangle en C

8. Étape 8 : L'erreur classique : Se tromper de signe en développant (-1 - x)(3 - x). Les deux facteurs contiennent un -x, et il faut distribuer les quatre produits sans en oublier : (-1) 3, (-1) (-x), (-x) 3, (-x) (-x). Un seul signe perdu déplace le centre du cercle, et rien dans la suite du calcul ne le signale — l'équation obtenue reste celle d'un cercle, simplement pas le bon. À retenir : Sur ce type d'exercice, calcule le centre et le rayon attendus AVANT de développer : ce sont le milieu de [AB] et la moitié de AB, obtenus en deux lignes. Tu disposes alors d'un contrôle indépendant du développement, ce qui est bien plus sûr que de relire son propre calcul.