Équation de cercle

Énoncé

Soit A(2 ; -1) et B(6 ; 3). a) Déterminer le centre et le rayon du cercle C de diamètre [AB]. b) Écrire l'équation de C. c) Vérifier que le point P(6 ; -1) est sur C.

Indice : Le centre du cercle de diamètre [AB] est le milieu de [AB] et le rayon vaut AB{2}.

Correction

1. Étape 1 : Trois questions qui s'enchaînent : trouver le cercle, l'écrire, puis y tester un point. Le cercle dont AB est un diamètre : Son centre est le milieu I de [AB], et son rayon vaut la moitié de AB : [formule] Équation d'un cercle : Le cercle de centre I(a\,;\,b) et de rayon R a pour équation : [formule] Un point appartient au cercle si et seulement si ses coordonnées vérifient cette égalité.
2. Étape 2 : a) Le centre est le milieu de [AB], avec A(2\,;\,-1) et B(6\,;\,3) : I(2 + 6{2}\,;\,-1 + 3{2}) = I(8{2}\,;\,2{2}) = I(4\,;\,1) ⚠️ Pour le milieu on additionne les coordonnées et l'on divise par deux ; pour un vecteur on les soustrait. Les deux calculs se ressemblent et se confondent facilement.

   I(4\,;\,1)

3. Étape 3 : On calcule ensuite la longueur du diamètre : AB = (6 - 2)^2 + (3 - (-1))^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32 On simplifie : 32 = 16 2 = 42. Le rayon est la moitié du diamètre : R = 4{2}{2} = 22

   R = 22

4. Étape 4 : b) On écrit l'équation avec I(4\,;\,1) et R = 22. Le second membre est le carré du rayon : R^2 = (22)^2 = 2^2 (2)^2 = 4 2 = 8 D'où : (x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 8 👉 On voit ici pourquoi il vaut mieux garder R sous forme exacte : R^2 vaut exactement 8, alors qu'un arrondi R 2{,}83 aurait donné 8{,}0089.

   (x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 8

5. Étape 5 : c) On remplace x par 6 et y par -1 dans le membre de gauche : (6 - 4)^2 + (-1 - 1)^2 = 2^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8 On obtient bien 8, c'est-à-dire le second membre. Donc P(6\,;\,-1) appartient au cercle C. ✓ ⚠️ On ne remplace que dans le membre de gauche, puis on compare au membre de droite : c'est une vérification, pas une équation à résoudre.

   P C

6. Étape 6 : Une conséquence géométrique qui prépare les deux exercices suivants. Le point P est sur le cercle de diamètre [AB], donc le triangle APB est rectangle en P. C'est le théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle, qu'on peut vérifier ici directement : PA\,(2 - 6\,;\,-1 + 1) = (-4\,;\,0) et PB\,(6 - 6\,;\,3 + 1) = (0\,;\,4) PA PB = (-4) 0 + 0 4 = 0 ✓ 👉 « Être sur le cercle de diamètre [AB] » et « voir [AB] sous un angle droit » sont la même chose. C'est exactement ce que les exercices 11008 et 11014 vont redémontrer, dans l'autre sens.
7. Étape 7 : L'erreur classique : Inverser les signes du centre et écrire (x + 4)^2 + (y + 1)^2 = 8. Le contrôle est immédiat : le centre doit annuler les deux parenthèses. Avec x = 4 et y = 1, la forme (x-4)^2 + (y-1)^2 donne bien 0, l'autre donne 68. Seconde erreur : écrire = 22 au lieu de = 8 au second membre. L'équation d'un cercle porte R^2, pas R — sans quoi le point P ne vérifierait plus rien. À retenir : Relis ton équation en te demandant « quel point l'annule ? ». Ce point doit être le centre. Ce contrôle d'une seconde attrape les deux erreurs de signe, et il fonctionne aussi quand le centre a des coordonnées négatives — I(-3\,;\,5) donne (x + 3)^2 + (y - 5)^2.