Al-Kashi : trouver un côté

Énoncé

Dans le triangle ABC, on donne AB = 8, AC = 5 et BAC = 60°. Calculer la longueur BC (valeur exacte puis arrondie au centième).

Indice : Applique la formule d'Al-Kashi : BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB AC (BAC).

Correction

1. Étape 1 : On connaît deux côtés et l'angle entre eux : c'est exactement la configuration que traite le théorème d'Al-Kashi, aussi appelé loi des cosinus. Théorème d'Al-Kashi : Dans un triangle quelconque : [formule] La structure mérite d'être vue pour ce qu'elle est : c'est Pythagore, plus un terme correctif. Si l'angle est droit, (90°) = 0, le dernier terme disparaît et il reste BC^2 = AB^2 + AC^2 — le théorème de Pythagore, cas particulier d'Al-Kashi. ⚠️ Repère qui évite les fautes de placement : le côté à gauche de l'égalité est celui qui fait face à l'angle utilisé.
2. Étape 2 : On relève les données et l'on écrit la formule avant de remplacer : AB = 8, AC = 5, BAC = 60°, et l'on cherche BC — le côté opposé à l'angle donné. ✓ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB AC (BAC) La valeur remarquable nécessaire est (60°) = 1{2}.
3. Étape 3 : On remplace, en calculant les morceaux séparément : AB^2 + AC^2 = 64 + 25 = 89 2 AB AC (60°) = 2 8 5 1{2} = 80 1{2} = 40 D'où : BC^2 = 89 - 40 = 49

   BC^2 = 49

4. Étape 4 : Il reste à prendre la racine : BC = 49 = 7 La valeur exacte est donc 7, et l'arrondi au centième vaut 7{,}00 — le nombre est entier, ce qui est confortable mais reste une coïncidence de l'énoncé.

   BC = 7

5. Étape 5 : Deux contrôles, à faire systématiquement sur Al-Kashi. L'inégalité triangulaire. Un côté est toujours compris entre la différence et la somme des deux autres : |8 - 5| = 3 et 8 + 5 = 13. Notre BC = 7 est bien dans [3\,;\,13]. ✓ La comparaison au cas rectangle. Si l'angle valait 90°, on aurait BC = 89 9{,}43. Notre angle vaut 60°, donc il est plus fermé : les deux côtés se rapprochent l'un de l'autre, et le troisième doit être plus court. On trouve 7 < 9{,}43 ✓ — cohérent. 👉 Ce second contrôle est le plus utile, parce qu'il attrape précisément l'erreur de signe : avec un + au lieu du -, on aurait obtenu 129 11{,}4, plus long que le cas rectangle, ce qui est géométriquement impossible pour un angle aigu.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Appliquer Pythagore tel quel et répondre BC = 89 9{,}43, en oubliant le terme correctif. Pythagore ne vaut que pour un triangle rectangle ; ici l'angle vaut 60°, et le triangle n'a aucune raison d'en avoir un droit. Seconde erreur, sur le signe : écrire +2bc au lieu de -2bc. Le contrôle par comparaison au cas rectangle, ci-dessus, l'attrape immédiatement. À retenir : Repère toujours quel côté fait face à l'angle donné : c'est lui qui va à gauche de l'égalité. Et retiens Al-Kashi comme « Pythagore corrigé » plutôt que comme une formule de plus — le terme en cosinus mesure exactement de combien l'angle s'écarte de l'angle droit.