Calculer un angle dans un triangle

Énoncé

Soit A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(2 ; 4). Calculer la mesure de l'angle BAC en degrés (arrondir au dixième).

Indice : Utilise (BAC) = {AB AC}{\|AB\| \|AC\|}.

Correction

1. Étape 1 : On demande cette fois la valeur de l'angle, et non sa nature : le signe du produit scalaire ne suffira donc pas. Il faut aller jusqu'au cosinus, puis en revenir à l'angle. Calculer un angle dans un triangle, en quatre temps : 1. Former les deux vecteurs partant du sommet de l'angle. 2. Calculer leur produit scalaire. 3. Calculer les deux normes. 4. Diviser, puis appliquer à la calculatrice. La touche (souvent notée ^{-1}) rend l'angle dont on lui donne le cosinus. ⚠️ Vérifier que la calculatrice est en mode degrés, puisque l'énoncé demande des degrés — c'est l'erreur d'exécution la plus fréquente, et elle donne un résultat en radians qui ressemble à une faute de calcul.
2. Étape 2 : Les deux vecteurs partent de A(0\,;\,0), ce qui simplifie beaucoup : leurs coordonnées sont simplement celles des points d'arrivée. AB\,(6 - 0\,;\,0 - 0) = AB\,(6\,;\,0) AC\,(2 - 0\,;\,4 - 0) = AC\,(2\,;\,4) Le produit scalaire vaut alors : AB AC = 6 2 + 0 4 = 12

   AB AC = 12

3. Étape 3 : On calcule les deux normes : AB = 6^2 + 0^2 = 36 = 6 AC = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 = 25 La simplification 20 = 4 5 = 25 n'est pas obligatoire, mais elle rendra la fraction suivante beaucoup plus lisible.

   AB = 6 AC = 25

4. Étape 4 : On forme le quotient, et la simplification est spectaculaire : (BAC) = {AB AC}{AB AC} = 12{6 25} = 12{125} = 1{5} Contrôle avant d'aller plus loin : 1{5} 0{,}447, bien compris entre -1 et 1. ✓ Et il est positif, donc l'angle sera aigu.

   (BAC) = 1{5}

5. Étape 5 : On applique enfin la fonction réciproque du cosinus : BAC = (1{5}) 63{,}4° Contrôle par le dessin. A est à l'origine, B sur l'axe horizontal : l'angle BAC est donc simplement l'inclinaison de AC(2\,;\,4) par rapport à l'horizontale. Ce vecteur monte de 4 pour avancer de 2 : il grimpe donc raide, nettement plus qu'à 45°, sans atteindre la verticale. Une valeur autour de 60° est exactement ce qu'on attend. ✓

   BAC 63{,}4°

6. Étape 6 : L'erreur classique : Oublier de diviser par les normes et appliquer au produit scalaire lui-même. La calculatrice affiche alors un message d'erreur — (12) n'existe pas — ce qui est une chance : l'erreur se signale d'elle-même. Elle ne se signale plus, en revanche, si le produit scalaire est petit. D'où l'intérêt de toujours vérifier que le cosinus obtenu est dans [-1\,;\,1] avant d'appuyer sur la touche. À retenir : Simplifie la fraction avant de passer à la calculatrice : ici 12{125} devient 1{5}, une valeur exacte bien plus facile à contrôler et à recopier. Et garde le réflexe du dessin — un angle se devine à 10° près sur un repère, ce qui suffit largement à détecter une erreur de méthode.