Vérifier l'orthogonalité

Énoncé

Soit A(2 ; 1), B(5 ; 3) et C(1 ; 4). a) Calculer AB BC. b) Les droites (AB) et (BC) sont-elles perpendiculaires ?

Indice : Deux droites sont perpendiculaires si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.

Correction

1. Étape 1 : On demande si deux droites sont perpendiculaires, alors que le produit scalaire porte sur des vecteurs. Le pont entre les deux est simple, mais il faut le nommer. Des vecteurs aux droites : Une droite (AB) a pour vecteur directeur AB — n'importe lequel de ses vecteurs, du reste, puisqu'ils sont tous colinéaires. Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre.
2. Étape 2 : On forme les deux vecteurs, en soustrayant à chaque fois « arrivée moins départ » : AB\,(5 - 2\,;\,3 - 1) = AB\,(3\,;\,2) BC\,(1 - 5\,;\,4 - 3) = BC\,(-4\,;\,1) ⚠️ Le second part de B et non de A : c'est BC qui est demandé, donc on soustrait les coordonnées de B, pas celles de A.
3. Étape 3 : a) On calcule le produit scalaire : AB BC = 3 (-4) + 2 1 = -12 + 2 = -10

   AB BC = -10

4. Étape 4 : b) Le produit scalaire vaut -10, qui n'est pas nul. Or le critère est une équivalence : perpendiculaires si et seulement si le produit est nul. Les droites (AB) et (BC) ne sont donc pas perpendiculaires. La réponse est complète : on a montré que le produit ne vaut pas zéro, ce qui suffit à conclure — inutile de calculer l'angle.

   (AB) et (BC) ne sont pas perpendiculaires

5. Étape 5 : Un second chemin, par les pentes, qui sert de contrôle indépendant. La pente de (AB) vaut 3 - 1{5 - 2} = 2{3}, et celle de (BC) vaut 4 - 3{1 - 5} = -1{4}. Deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs pentes vaut -1. Ici : 2{3} (-1{4}) = -2{12} = -1{6} -1 Même conclusion, par un calcul totalement différent. ✓ ⚠️ Le critère des pentes a un défaut que le produit scalaire n'a pas : il échoue sur une droite verticale, dont la pente n'existe pas. C'est pourquoi le produit scalaire lui est préféré dès qu'on travaille avec des coordonnées.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Oublier le signe moins du critère des pentes et chercher un produit égal à +1. Ou, plus fréquent encore, appliquer le critère des droites parallèles (pentes égales) à une question de perpendicularité. Un moyen de ne pas s'y tromper : deux droites perpendiculaires ont des pentes de signes contraires — si l'une monte, l'autre descend. Un produit positif est donc impossible. À retenir : Quand une question porte sur des droites, commence par écrire un vecteur directeur de chacune : la question redevient alors une question sur des vecteurs, que le produit scalaire tranche en deux lignes. Et n'oublie pas de conclure sur les droites, pas sur les vecteurs — c'est ce que l'énoncé demandait.