Produit scalaire avec coordonnées

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne A(1 ; 3), B(4 ; -1) et C(-2 ; 5). a) Calculer AB AC. b) En déduire si l'angle BAC est aigu, droit ou obtus.

Indice : Calcule d'abord les coordonnées des vecteurs AB et AC, puis utilise u v = xx' + yy'.

Correction

1. Étape 1 : L'énoncé donne des points, pas des vecteurs. Il faut donc commencer par fabriquer les vecteurs — et c'est là que se joue la moitié des erreurs de ce chapitre. Coordonnées d'un vecteur à partir de deux points : Pour A(x_A\,;\,y_A) et B(x_B\,;\,y_B) : [formule] On soustrait l'origine à l'extrémité, jamais l'inverse : « arrivée moins départ ». Les deux vecteurs à former partent tous deux de A, puisque l'angle étudié en b) est celui de sommet A. Un vecteur BA ou CA donnerait un produit scalaire de signe opposé, donc une conclusion inversée.
2. Étape 2 : On forme les deux vecteurs issus de A(1\,;\,3) : AB\,(4 - 1\,;\,-1 - 3) = AB\,(3\,;\,-4) AC\,(-2 - 1\,;\,5 - 3) = AC\,(-3\,;\,2) ⚠️ La soustraction -1 - 3 = -4 mérite qu'on s'y arrête : on retranche 3 à -1, on ne les additionne pas. C'est le calcul le plus souvent raté du chapitre.
3. Étape 3 : a) On applique la formule en coordonnées : AB AC = 3 (-3) + (-4) 2 = -9 + (-8) = -17

   AB AC = -17

4. Étape 4 : b) Le signe du produit scalaire classe l'angle, sans qu'il soit besoin de le calculer. On part de la seconde expression : AB AC = AB AC (BAC). Les deux longueurs sont positives, donc le signe du produit scalaire est exactement celui du cosinus. Ici le produit vaut -17 < 0, donc (BAC) < 0. Or un cosinus est négatif pour un angle strictement compris entre {2} et : l'angle BAC est obtus.

   BAC est obtus

5. Étape 5 : Ce raisonnement se range dans un tableau qu'il faut connaître par cœur, car il évite un calcul d'angle dans la moitié des exercices : | AB AC | angle BAC | | --- | --- | | > 0 | aigu | | = 0 | droit | | < 0 | obtus | 👉 Si l'on voulait tout de même la valeur, elle s'obtiendrait par (BAC) = -17{5 13} -0{,}943, soit environ 160{,}6° — bien obtus. Mais l'énoncé ne le demandait pas, et le signe suffisait.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Calculer BA AC au lieu de AB AC, en formant un vecteur dans le mauvais sens. On trouverait +17, donc « angle aigu » — la conclusion exactement inverse. L'angle de sommet A se mesure entre deux vecteurs partant de A. Retourner l'un des deux revient à mesurer l'angle supplémentaire. À retenir : Écris toujours les coordonnées du vecteur sur une ligne à part, avant tout produit scalaire — et relis que les deux vecteurs partent bien du sommet de l'angle étudié. Ces deux secondes de vérification suppriment la principale source d'erreur du chapitre.