Ensemble de points et produit scalaire

Énoncé

Soit A(1 ; 0) et B(5 ; 0). Déterminer l'ensemble des points M(x ; y) tels que MA MB = 0.

Indice : Exprime MA et MB en coordonnées, puis développe le produit scalaire.

Correction

1. Étape 1 : MA(1-x ; -y) et MB(5-x ; -y).
2. Étape 2 : MA MB = (1-x)(5-x) + (-y)(-y) = (1-x)(5-x) + y^2.
3. Étape 3 : = 5 - x - 5x + x^2 + y^2 = x^2 - 6x + 5 + y^2 = (x-3)^2 - 4 + y^2.
4. Étape 4 : MA MB = 0 (x-3)^2 + y^2 = 4.

   C'est le cercle de centre I(3 ; 0) et de rayon 2 (cercle de diamètre [AB]).