Ensemble de points et produit scalaire

Énoncé

Soit A(1 ; 0) et B(5 ; 0). Déterminer l'ensemble des points M(x ; y) tels que MA MB = 0.

Indice : Exprime MA et MB en coordonnées, puis développe le produit scalaire.

Correction

1. Étape 1 : On cherche un ensemble de points, pas un point : la réponse sera une courbe, décrite par une équation. La démarche est toujours la même. Déterminer un ensemble de points : 1. Prendre un point quelconque M(x\,;\,y) et exprimer la condition en fonction de x et y. 2. Développer, puis réduire l'expression obtenue. 3. Reconnaître la forme d'une équation connue — ici, celle d'un cercle. 👉 Une intuition avant de calculer : la condition MA MB = 0 dit que M voit le segment [AB] sous un angle droit. On peut donc s'attendre à retrouver le cercle de diamètre [AB] — ce que le calcul va confirmer.
2. Étape 2 : On exprime les deux vecteurs, en partant du point mobile M(x\,;\,y) vers les points fixes A(1\,;\,0) et B(5\,;\,0) : MA\,(1 - x\,;\,0 - y) = MA\,(1 - x\,;\,-y) MB\,(5 - x\,;\,-y) ⚠️ Le sens compte : MA va de M vers A, donc on soustrait les coordonnées de M. Les prendre à l'envers changerait le signe des deux vecteurs — ce qui, ici, ne changerait rien au produit (deux signes moins se compensent), mais c'est une chance qu'il ne faut pas prendre l'habitude d'espérer.
3. Étape 3 : On calcule le produit scalaire en coordonnées : MA MB = (1 - x)(5 - x) + (-y) (-y) = (1 - x)(5 - x) + y^2 On développe le premier produit, en distribuant terme à terme : (1 - x)(5 - x) = 5 - x - 5x + x^2 = x^2 - 6x + 5 D'où : MA MB = x^2 - 6x + 5 + y^2
4. Étape 4 : Pour reconnaître un cercle, il faut des carrés. On met donc x^2 - 6x sous forme canonique. On cherche le carré qui commence pareil : (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9. Il y a donc 9 de trop, qu'on retranche : x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9 En reportant : MA MB = (x - 3)^2 - 9 + 5 + y^2 = (x - 3)^2 + y^2 - 4
5. Étape 5 : On peut enfin traduire la condition de l'énoncé : MA MB = 0 (x - 3)^2 + y^2 - 4 = 0 (x - 3)^2 + y^2 = 4 On reconnaît l'équation d'un cercle, avec R^2 = 4 donc R = 2 : l'ensemble cherché est le cercle de centre I(3\,;\,0) et de rayon 2.

   (x - 3)^2 + y^2 = 4

6. Étape 6 : Vérification, et c'est elle qui donne le sens du résultat. Ce cercle est-il bien celui de diamètre [AB], comme on l'avait pressenti ? Le centre : le milieu de [AB] vaut (1 + 5{2}\,;\,0 + 0{2}) = (3\,;\,0) ✓ Le rayon : AB = 5 - 1 = 4, donc la moitié vaut 2 ✓ Les deux coïncident. On vient donc de redémontrer par le calcul un théorème connu depuis le collège : l'ensemble des points d'où l'on voit un segment sous un angle droit est le cercle dont ce segment est un diamètre. 👉 C'est ce qui rend le produit scalaire précieux : il transforme un énoncé géométrique en une équation qu'on développe mécaniquement, sans avoir à « voir » la figure.
7. Étape 7 : L'erreur classique : Confondre cette condition avec celle du milieu. MA + MB = 0 caractérise le milieu de [AB] — un point unique. MA MB = 0 caractérise un cercle entier. Autre confusion voisine : MA = MB (égalité de longueurs) définit la médiatrice de [AB], une droite. Trois conditions qui se ressemblent à l'écrit, trois objets géométriques différents. À retenir : Avant de te lancer dans le développement, demande-toi ce que la condition veut dire géométriquement — ici « M voit [AB] sous un angle droit ». Tu sauras alors ce que tu dois trouver, et le calcul devient une confirmation plutôt qu'un saut dans le vide. Et si le résultat ne correspond pas à l'intuition, c'est le signal qu'il faut relire le développement.