Triangle rectangle et orthogonalité

Énoncé

Soit A(1 ; 2), B(4 ; 6) et C(8 ; 3). a) Calculer AB AC. b) Le triangle ABC est-il rectangle en A ?

Indice : Calcule les coordonnées de AB et AC, puis leur produit scalaire.

Correction

  1. Étape 1 : Montrer qu'un triangle est rectangle en un sommet donné revient à montrer que les deux vecteurs partant de ce sommet sont orthogonaux — donc que leur produit scalaire est nul. Tester l'angle droit en un sommet : 1. Former les deux vecteurs qui partent du sommet étudié. 2. Calculer leur produit scalaire. 3. Conclure : nul rectangle en ce sommet ; non nul pas rectangle en ce sommet. ⚠️ La dernière précision n'est pas une formalité de rédaction. Un produit scalaire non nul en A ne dit rien sur les angles en B et en C : il répond à la question posée, pas à la question générale « ce triangle est-il rectangle ? ». On verra à la fin que la distinction n'est pas théorique ici.
  2. Étape 2 : On forme les deux vecteurs issus de A(1\,;\,2) : AB\,(4 - 1\,;\,6 - 2) = AB\,(3\,;\,4) AC\,(8 - 1\,;\,3 - 2) = AC\,(7\,;\,1)
  3. Étape 3 : a) On calcule leur produit scalaire : AB AC = 3 7 + 4 1 = 21 + 4 = 25

    AB AC = 25

  4. Étape 4 : b) Le produit vaut 25, qui n'est pas nul. Donc les vecteurs AB et AC ne sont pas orthogonaux, et le triangle ABC n'est pas rectangle en A. Le résultat étant de surcroît positif, l'angle BAC est aigu : il mesure moins de 90°.

    ABC n'est pas rectangle en A

  5. Étape 5 : Et pourtant ce triangle EST rectangle. L'énoncé n'interrogeait que le sommet A, mais la question mérite d'être posée aux deux autres — c'est un réflexe qui rapporte souvent des points. Testons le sommet B(4\,;\,6). Les deux vecteurs qui en partent sont : BA\,(1 - 4\,;\,2 - 6) = BA\,(-3\,;\,-4) et BC\,(8 - 4\,;\,3 - 6) = BC\,(4\,;\,-3) BA BC = (-3) 4 + (-4) (-3) = -12 + 12 = 0 Le triangle ABC est donc rectangle en B.

    BA BC = 0

  6. Étape 6 : On peut le confirmer par les longueurs, avec la réciproque de Pythagore : AB = 9 + 16 = 5, BC = 16 + 9 = 5, AC = 49 + 1 = 50 AB^2 + BC^2 = 25 + 25 = 50 = AC^2 ✓ Le triangle est donc rectangle et isocèle en B — ce qui explique au passage que ses deux angles aigus valent 45° chacun.
  7. Étape 7 : L'erreur classique : Conclure « le triangle n'est pas rectangle » après avoir testé un seul sommet. C'est exactement le piège de cet exercice : la réponse à la question posée est bien « pas rectangle en A », mais le triangle est rectangle en B — et un élève qui généralise se trompe. Un produit scalaire non nul en A exclut A, et rien d'autre. À retenir : Quand une question ne vise qu'un sommet, réponds sur ce sommet — mais prends dix secondes pour tester les deux autres, surtout si une question suivante parle de la nature du triangle. Trois produits scalaires suffisent à trancher entièrement, et ils se calculent de tête sur des coordonnées entières.