Identité remarquable et produit scalaire

Énoncé

Soient u et v tels que \|u\| = 4, \|v\| = 3 et u v = 6. Calculer \|u + v\| et \|u - v\|.

Indice : Utilise les identités : \|u + v\|^2 = \|u\|^2 + 2u v + \|v\|^2.

Correction

1. Étape 1 : Aucune coordonnée n'est donnée, et pourtant on demande deux longueurs. La clé est de travailler sur les carrés des normes, où le produit scalaire fait son apparition. Norme d'une somme et d'une différence : [formule] [formule] Ces deux formules sont les identités remarquables (a+b)^2 et (a-b)^2, transposées aux vecteurs. La correspondance est exacte : le carré d'une norme joue le rôle du carré d'un nombre, et le double produit devient 2\,u v.
2. Étape 2 : On relève les trois données : \|u\| = 4, \|v\| = 3, u v = 6. On en déduit les carrés dont les formules ont besoin : \|u\|^2 = 16 \|v\|^2 = 9 2\,u v = 12
3. Étape 3 : Pour la somme : \|u + v\|^2 = 16 + 12 + 9 = 37 La norme est donc la racine de ce carré : \|u + v\| = 37 6{,}08

   \|u + v\| = 37

4. Étape 4 : Pour la différence, seul le signe du double produit change : \|u - v\|^2 = 16 - 12 + 9 = 13 \|u - v\| = 13 3{,}61

   \|u - v\| = 13

5. Étape 5 : Un contrôle géométrique, qui rend les deux résultats crédibles d'un coup. Les vecteurs u, v et u + v forment un triangle. L'inégalité triangulaire impose donc : [formule] c'est-à-dire ici : les deux résultats doivent tomber entre 4 - 3 = 1 et 4 + 3 = 7. Et c'est bien le cas : 37 6{,}08 et 13 3{,}61 sont tous deux dans [1\,;\,7]. ✓ 👉 Ces bornes ne sont pas décoratives : elles correspondent aux deux cas extrêmes, vecteurs alignés dans le même sens (somme maximale) ou en sens contraire (somme minimale).
6. Étape 6 : L'erreur classique : Répondre 37 et 13 — donc oublier la racine finale. Ces formules calculent des carrés de normes, comme leur écriture \|\|^2 l'indique, et l'oubli est d'autant plus facile que le calcul semble terminé. Seconde erreur, plus subtile : écrire \|u + v\| = \|u\| + \|v\| = 7. C'est faux dès que les vecteurs ne sont pas alignés — et le contrôle par l'inégalité triangulaire montre justement que 7 est un maximum jamais atteint ici. À retenir : Retiens la correspondance plutôt que les formules : \|u v\|^2 se développe exactement comme (a b)^2, avec u v à la place du produit ab. Une identité remarquable connue depuis la Seconde suffit donc à les retrouver toutes les deux.