Angle entre deux vecteurs

Énoncé

Déterminer l'angle entre u(1 ; 3) et v(3 ; 1).

Indice : Utilise () = {u v}{\|u\| \|v\|}.

Correction

1. Étape 1 : On connaît les coordonnées et l'on cherche l'angle : c'est le sens de lecture inverse de l'exercice précédent, et le plus utile en pratique. Trouver un angle à partir des coordonnées : Les deux expressions du produit scalaire donnent le même nombre, donc on peut les égaler : [formule] d'où, en isolant le cosinus : [formule]
2. Étape 2 : Le produit scalaire, avec u(1\,;\,3) et v(3\,;\,1) : u v = 1 3 + 3 1 = 3 + 3 = 23

   u v = 23

3. Étape 3 : Les deux normes. On se souvient que (3)^2 = 3 — une racine élevée au carré redonne le nombre de départ : \|u\| = 1^2 + ({3)^2} = 1 + 3 = 4 = 2 \|v\| = ({3)^2 + 1^2} = 3 + 1 = 2 Les deux vecteurs ont la même longueur, ce qui est logique : leurs coordonnées sont les mêmes, simplement échangées.

   \|u\| = \|v\| = 2

4. Étape 4 : Le quotient, puis la reconnaissance de l'angle : = 2{3}{2 2} = 2{3}{4} = {3}{2} On reconnaît une valeur remarquable : {6} = {3}{2}. Donc = {6}, soit 30°. ⚠️ L'angle entre deux vecteurs est toujours choisi entre 0 et : il n'y a donc qu'une seule réponse possible, contrairement à une équation trigonométrique ordinaire qui en aurait deux par tour.

   = {6} = 30°

5. Étape 5 : Un contrôle géométrique, indépendant de tout le calcul précédent. Le vecteur u(1\,;\,3) monte beaucoup pour peu d'avancée : il fait un angle de 60° avec l'axe horizontal. Le vecteur v(3\,;\,1) est son symétrique par rapport à la bissectrice : il fait 30° avec ce même axe. L'angle entre les deux vaut donc 60° - 30° = 30° ✓ — c'est bien ce qu'on a trouvé, par un chemin qui n'emprunte ni produit scalaire ni norme. 👉 Chercher un second chemin est le meilleur contrôle qui soit : deux méthodes indépendantes ne se trompent pas de la même façon.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Prendre le produit scalaire tout seul pour le cosinus, et écrire = 23 3{,}46. C'est impossible : un cosinus ne dépasse jamais 1. Il manque la division par le produit des normes. C'est le contrôle le plus rentable du chapitre : dès que ton « cosinus » sort de l'intervalle [-1\,;\,1], tu sais que tu as sauté une étape, sans même relire ton calcul. À retenir : Les trois calculs se font toujours dans cet ordre — produit scalaire, normes, quotient — et on écrit le quotient sous forme de fraction avant de simplifier. Beaucoup de valeurs remarquables apparaissent alors d'elles-mêmes, comme ici {3}{2}, qu'un passage prématuré à la calculatrice aurait transformé en un 0{,}866 méconnaissable.