Produit scalaire avec un angle

Énoncé

Calculer u v sachant que \|u\| = 5, \|v\| = 3 et (u, v) = {3}.

Indice : u v = \|u\| \|v\| ().

Correction

1. Étape 1 : Ici les coordonnées ne sont pas données : on connaît les longueurs des deux vecteurs et l'angle entre eux. C'est la seconde expression du produit scalaire, et elle est aussi importante que la première. Produit scalaire avec l'angle : Pour deux vecteurs non nuls formant un angle : [formule] Les deux formules décrivent le même nombre par deux chemins : l'une part des coordonnées, l'autre de la géométrie. Savoir passer de l'une à l'autre est ce qui rend le produit scalaire utile — c'est ainsi qu'on calculera des angles à partir de coordonnées, plus loin dans le chapitre.
2. Étape 2 : On relève les trois données : \|u\| = 5, \|v\| = 3, et = {3}. La valeur remarquable dont on a besoin est {3} = 1{2}. ⚠️ Attention à ne pas prendre {3}{2} : c'est le sinus de {3}, et c'est aussi le cosinus de {6}. Le repère qui ne trompe pas : {3} vaut 60°, un angle assez grand, donc son cosinus est petit — d'où 1{2} et non {3}{2} 0{,}87.
3. Étape 3 : On applique la formule en remplaçant les trois valeurs : u v = 5 3 {3} = 15 1{2} = 15{2} = 7{,}5

   u v = 15{2}

4. Étape 4 : Deux contrôles, qui ne coûtent rien et qui valent pour tous les exercices de ce type. Le signe. L'angle {3} est aigu, donc son cosinus est positif, donc le produit scalaire doit l'être. ✓ L'ordre de grandeur. Comme est toujours entre -1 et 1, le produit scalaire est nécessairement compris entre -\|u\|\|v\| et +\|u\|\|v\|, c'est-à-dire ici entre -15 et 15. Notre résultat, 7{,}5, est bien dans cet intervalle — et il en occupe exactement la moitié, ce qui correspond à = 0{,}5. 👉 Le maximum 15 ne serait atteint que pour = 0, c'est-à-dire deux vecteurs de même direction et de même sens.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Multiplier les normes et oublier le cosinus, en répondant 15. Le facteur est ce qui distingue un produit scalaire d'un simple produit de longueurs : sans lui, l'angle ne joue plus aucun rôle, et deux vecteurs perpendiculaires auraient le même produit scalaire que deux vecteurs alignés. À retenir : Le cosinus mesure l'alignement des deux vecteurs : il vaut 1 quand ils pointent dans le même sens, 0 quand ils sont perpendiculaires, -1 quand ils sont opposés. Le produit scalaire est donc « le produit des longueurs, corrigé par le degré d'alignement » — c'est cette lecture qui rend la formule mémorable, bien plus que sa forme.