Orthogonalité de vecteurs

Énoncé

Les vecteurs suivants sont-ils orthogonaux ? a) u(2 ; 3) et v(3 ; -2) b) u(1 ; 4) et v(4 ; -2)

Indice : Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si u v = 0.

Correction

1. Étape 1 : La question « ces vecteurs sont-ils perpendiculaires ? » est une question de géométrie, et le produit scalaire la transforme en un calcul de deux lignes. C'est tout l'intérêt de l'outil. Critère d'orthogonalité : Deux vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si : [formule] Le « si et seulement si » compte : le critère fonctionne dans les deux sens. Produit nul perpendiculaires, et perpendiculaires produit nul. C'est ce qui permet aussi bien de vérifier un angle droit que de le démontrer.
2. Étape 2 : a) Avec u(2\,;\,3) et v(3\,;\,-2) : u v = 2 3 + 3 (-2) = 6 - 6 = 0 Le produit scalaire est nul, donc les deux vecteurs sont orthogonaux : u v. On peut remarquer d'où vient cette perpendicularité : les coordonnées de v sont celles de u échangées, dont une changée de signe. Ce n'est pas une coïncidence — c'est une recette générale, sur laquelle on revient plus bas.

   u v = 0 \ \ u v

3. Étape 3 : b) Avec u(1\,;\,4) et v(4\,;\,-2) : u v = 1 4 + 4 (-2) = 4 - 8 = -4 Le résultat n'est pas nul, donc les vecteurs ne sont pas orthogonaux. Et le signe donne une information de plus : -4 < 0, donc l'angle entre eux est obtus — il dépasse 90°. Les deux vecteurs sont donc plus qu'à angle droit l'un de l'autre, pas moins.

   u v = -4 0

4. Étape 4 : La recette repérée en a), et pourquoi elle marche. Partant de u(x\,;\,y), le vecteur v(y\,;\,-x) lui est toujours orthogonal : [formule] Le calcul est nul quelles que soient les coordonnées : c'est une identité, pas un cas particulier. Géométriquement, échanger les coordonnées et changer un signe revient à faire tourner le vecteur d'un quart de tour. C'est la façon la plus rapide de fabriquer un vecteur perpendiculaire à un autre — utile pour trouver un vecteur normal à une droite, ce qui reviendra plus loin dans le chapitre.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Confondre orthogonaux et colinéaires. Ce sont deux situations opposées : orthogonaux signifie « à angle droit » et se teste par u v = 0 ; colinéaires signifie « alignés, même direction » et se teste par xy' - x'y = 0. Les deux critères se ressemblent à l'écrit — un produit qui vaut zéro — mais l'un additionne et l'autre soustrait. Sur u(2\,;\,3) et v(3\,;\,-2) : le produit scalaire vaut 0 (orthogonaux) tandis que 2 (-2) - 3 3 = -13 (non colinéaires). À retenir : Relie chaque critère à son opération : orthogonalité, on additionne (xx' + yy') ; colinéarité, on soustrait en croisant (xy' - x'y). Et rappelle-toi que le critère d'orthogonalité exige des vecteurs non nuls : le vecteur nul a un produit scalaire nul avec tout le monde sans être perpendiculaire à quoi que ce soit.