Norme d'un vecteur

Énoncé

Calculer la norme des vecteurs suivants : a) u(3 ; 4) b) v(-5 ; 12) c) w(1 ; -1)

Indice : \|u\| = x^2 + y^2.

Correction

1. Étape 1 : La norme d'un vecteur est sa longueur : un nombre toujours positif ou nul, exprimé dans l'unité du repère. Norme d'un vecteur : Dans un repère orthonormé, pour u(x\,;\,y) : [formule] Cette formule n'est pas à apprendre séparément : c'est le théorème de Pythagore. Le vecteur est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés mesurent |x| et |y|, et la racine carrée rend la longueur à partir de son carré.
2. Étape 2 : a) Avec u(3\,;\,4) : \|u\| = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5 On reconnaît le triangle 3–4–5, le plus célèbre des triangles rectangles à côtés entiers. Contrôle : 5 est bien supérieur à 3 et à 4. ✓

   \|u\| = 5

3. Étape 3 : b) Avec v(-5\,;\,12) : \|v\| = (-5)^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13 ⚠️ Le carré d'un nombre négatif est positif : (-5)^2 = 25, jamais -25. C'est heureux — une longueur ne pourrait pas se calculer à partir d'une somme négative. Autrement dit : le signe des coordonnées ne change rien à la longueur. Le vecteur (5\,;\,12) a exactement la même norme, il pointe simplement de l'autre côté.

   \|v\| = 13

4. Étape 4 : c) Avec w(1\,;\,-1) : \|w\| = 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2 Cette fois la racine ne « tombe pas juste ». On la laisse telle quelle : 2 est la valeur exacte, et l'écrire 1{,}41 serait la remplacer par une approximation. On ne donne une valeur décimale que si l'énoncé le demande explicitement (« arrondir au dixième »).

   \|w\| = 2

5. Étape 5 : Un lien qui resservira souvent : la norme est reliée au produit scalaire du vecteur avec lui-même. [formule] Autrement dit u u = \|u\|^2 — le produit scalaire d'un vecteur par lui-même donne le carré de sa norme, pas la norme. Vérification sur a) : u u = 9 + 16 = 25, et \|u\|^2 = 5^2 = 25 ✓
6. Étape 6 : L'erreur classique : Oublier la racine finale et répondre 25 pour la question a). x^2 + y^2 est le carré de la norme ; la norme est sa racine. Un contrôle de bon sens l'attrape : un vecteur de coordonnées 3 et 4 ne peut pas mesurer 25 — ce serait plus long que la somme de ses côtés. Erreur voisine : additionner les coordonnées, 3 + 4 = 7. C'est le chemin qu'on parcourrait en longeant les deux côtés, pas la longueur du vecteur, qui coupe en diagonale. À retenir : Garde en tête l'image du triangle rectangle : la norme est l'hypoténuse. Elle est donc plus grande que chaque coordonnée prise séparément, et plus petite que leur somme. Ces deux bornes encadrent toutes tes réponses — ici 4 < 5 < 7. ✓