Produit scalaire en coordonnées

Énoncé

Calculer le produit scalaire u v dans chaque cas : a) u(3 ; 1) et v(2 ; -4) b) u(-1 ; 5) et v(10 ; 2) c) u(4 ; 0) et v(0 ; -3)

Indice : Utilise la formule u v = xx' + yy'.

Correction

1. Étape 1 : Le produit scalaire est la première opération du cours qui prend deux vecteurs et rend un nombre. Ce n'est pas un vecteur : le résultat n'a ni direction ni sens, c'est un réel qui peut être positif, négatif ou nul. Produit scalaire en coordonnées : Dans un repère orthonormé, pour u(x\,;\,y) et v(x'\,;\,y') : [formule] On multiplie les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles, et on additionne les deux produits.
2. Étape 2 : a) Avec u(3\,;\,1) et v(2\,;\,-4) : u v = 3 2_{abscisses} + 1 (-4)_{ordonnées} = 6 + (-4) = 2 Le résultat est positif, ce qui signifie que les deux vecteurs pointent globalement dans la même direction — l'angle qu'ils forment est aigu.

   u v = 2

3. Étape 3 : b) Avec u(-1\,;\,5) et v(10\,;\,2) : u v = (-1) 10 + 5 2 = -10 + 10 = 0 Le résultat est nul, et ce n'est pas un hasard de calcul : cela signifie que les deux vecteurs sont orthogonaux, c'est-à-dire perpendiculaires. On peut le vérifier à main levée en les traçant — l'un monte fortement vers la gauche, l'autre file vers la droite en montant à peine.

   u v = 0 \ \ u v

4. Étape 4 : c) Avec u(4\,;\,0) et v(0\,;\,-3) : u v = 4 0 + 0 (-3) = 0 + 0 = 0 Encore un produit nul, et cette fois la géométrie saute aux yeux : u est horizontal (ordonnée nulle) et v est vertical (abscisse nulle). Deux vecteurs le long des axes d'un repère orthonormé sont évidemment perpendiculaires. Ce cas sert de contrôle du cours lui-même : si la formule ne rendait pas 0 ici, c'est qu'on l'aurait mal recopiée.

   u v = 0

5. Étape 5 : Ce que ces trois calculs viennent de montrer, et qui servira dans tout le chapitre : | signe de u v | angle entre les vecteurs | | --- | --- | | positif | aigu (moins de 90°) | | nul | droit — vecteurs orthogonaux | | négatif | obtus (plus de 90°) | 👉 Le produit scalaire est donc un détecteur d'angle droit qui ne coûte que deux multiplications et une addition. C'est cette propriété, et non le nombre obtenu, qui fait l'intérêt de l'outil : elle transforme une question de géométrie en un calcul mécanique.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Ne multiplier que les abscisses, et répondre 6 à la question a) au lieu de 2. Le terme yy' fait partie de la formule au même titre que l'autre — et c'est justement lui qui, en b), vient annuler le premier. Second piège, sur les signes : 1 (-4) vaut -4, on ajoute donc un nombre négatif. Écrire 6 + 4 = 10 revient à perdre le signe de la coordonnée. À retenir : Écris les deux produits séparément avant de les additionner, avec les parenthèses autour des coordonnées négatives. Et prends l'habitude de lire le signe du résultat : il te dit la nature de l'angle, donc il te dit aussi si ta réponse est plausible au vu du dessin.