Implication, contre-exemple, disjonction des cas, absurde

Énoncé

1. Pour un réel x, on considère l'implication P : « si x = 3, alors x² = 9 ». a) P est-elle vraie ? b) Énoncer la réciproque de P. Est-elle vraie ? Justifier. c) Énoncer la contraposée de P. Est-elle vraie ? d) Compléter l'équivalence : x² = 9 ⟺ … 2. La proposition « pour tous réels a et b, (a + b)² = a² + b² » est-elle vraie ? Justifier. 3. Démontrer, en distinguant deux cas, que pour tout entier n, le nombre n² + 3n + 1 est impair. 4. On admet que √(2) est irrationnel. Démontrer par l'absurde que 1 + √(2) est irrationnel.

Indice : Réciproque : on échange les deux propositions ; contraposée : on les échange et on les nie. Pour montrer qu'une propriété « pour tout » est fausse, un seul contre-exemple suffit.

Correction

1. Étape 1 : Quatre questions, quatre outils de raisonnement : il faut d'abord reconnaître lequel s'applique. Quel raisonnement pour quelle question ? : Montrer qu'une propriété « pour tout » est fausse : un contre-exemple. Montrer qu'elle est vraie pour tous les entiers : un calcul littéral, éventuellement en séparant des cas qui couvrent toutes les possibilités. Montrer qu'un nombre n'est pas d'une certaine forme : souvent par l'absurde. 👉 La contraposée de « si P, alors Q » est « si non Q, alors non P » ; elle est vraie exactement quand l'implication l'est.
2. Étape 2 : 1a) Si x = 3, alors x² = 3² = 9 : l'implication P est vraie. 1b) La réciproque de P est « si x² = 9, alors x = 3 ». Elle est fausse : pour x = -3, on a x² = (-3)² = 9, mais x ≠ 3. Le nombre -3 est un contre-exemple.

   (-3)² = 9 et -3 ≠ 3

3. Étape 3 : 1c) La contraposée de P est « si x² ≠ 9, alors x ≠ 3 ». Elle est vraie, comme P : une implication et sa contraposée sont vraies en même temps. On le vérifie aussi directement : si x valait 3, x² vaudrait 9. 1d) L'équation x² = 9 a deux solutions, 3 et -3 : x² = 9 ⟺ (x = 3 ou x = -3) Les deux implications sont vraies : c'est une équivalence.

   x² = 9 ⟺ (x = 3 ou x = -3)

4. Étape 4 : 2) La proposition est fausse. Un contre-exemple suffit : avec a = 1 et b = 1, (a + b)² = 2² = 4, alors que a² + b² = 1 + 1 = 2. Elle est pourtant vraie pour certaines valeurs, par exemple pour a = 0 : en effet (a + b)² = a² + 2ab + b², et l'égalité n'a lieu que lorsque 2ab = 0. Être vraie pour quelques valeurs ne suffit pas pour être vraie « pour tous réels a et b ».

   (1 + 1)² = 4 ≠ 2 = 1² + 1²

5. Étape 5 : 3) Tout entier est soit pair, soit impair : on traite les deux cas. Si n est pair, il existe un entier k tel que n = 2k : n² + 3n + 1 = 4k² + 6k + 1 = 2(2k² + 3k) + 1. Si n est impair, il existe un entier k tel que n = 2k + 1 : n² + 3n + 1 = (4k² + 4k + 1) + (6k + 3) + 1 = 4k² + 10k + 5 = 2(2k² + 5k + 2) + 1. Dans les deux cas, le nombre s'écrit 2K + 1 avec K entier : n² + 3n + 1 est impair. Contrôle : pour n = 4, 16 + 12 + 1 = 29 ; pour n = 5, 25 + 15 + 1 = 41. Ce sont bien deux nombres impairs.

   n² + 3n + 1 = 2K + 1

6. Étape 6 : 4) Supposons que 1 + √(2) soit rationnel : il existe deux entiers p et q, avec q ≠ 0, tels que 1 + √(2) = p/q. Alors √(2) = p/q - 1 = (p - q)/q. Comme p - q et q sont des entiers, avec q ≠ 0, le nombre √(2) serait rationnel. C'est une contradiction, puisque √(2) est irrationnel. La supposition est donc fausse : 1 + √(2) est irrationnel.

   √(2) = (p - q)/q

7. Étape 7 : L'erreur classique : Croire qu'une implication vraie a une réciproque vraie : « si x = 3, alors x² = 9 » est vraie, « si x² = 9, alors x = 3 » ne l'est pas. Autre erreur : « démontrer » une propriété « pour tout entier n » en la vérifiant pour n = 4 et n = 5. Deux exemples ne couvrent pas tous les entiers ; les deux cas « n pair » et « n impair », eux, les couvrent tous. À retenir : Un contre-exemple suffit pour montrer qu'une propriété « pour tout » est fausse ; pour montrer qu'elle est vraie, il faut un raisonnement qui couvre tous les cas. 👉 Par l'absurde : on suppose le contraire de ce que l'on veut montrer, et l'on aboutit à une contradiction.