Ensembles : intersection, réunion, complémentaire, couples

Énoncé

On note E = {1, 2, 3, …, 12} l'ensemble des entiers de 1 à 12, A l'ensemble des multiples de 3 qui appartiennent à E, et B l'ensemble des nombres pairs qui appartiennent à E. 1. Écrire A et B en donnant la liste de leurs éléments, puis donner Card(A) et Card(B). 2. Déterminer A ∩ B et A ∪ B, puis leurs cardinaux. Traduire l'appartenance à chacun de ces deux ensembles par une phrase contenant « et » ou « ou ». 3. Déterminer A̅ = E ∖ A et son cardinal. 4. Écrire la négation de la proposition « n est un multiple de 3 et n est pair ». Combien d'éléments n de E la vérifient ? 5. Un code de casier est formé d'une lettre de L = {a, b, c} suivie d'un chiffre de C = {0, 1} : c'est un couple de L × C. Écrire tous les éléments de L × C. Combien existe-t-il de codes ? Le couple (0 ; a) est-il un code ?

Indice : Traduis chaque symbole en mots : ∩ se lit « et », ∪ se lit « ou », A̅ se lit « pas dans A ». Dans un couple, l'ordre compte.

Correction

1. Étape 1 : Chaque question se règle en traduisant les symboles en mots, puis en vérifiant élément par élément. Les symboles et leur traduction : x ∈ A ∩ B : x ∈ A et x ∈ B. x ∈ A ∪ B : x ∈ A ou x ∈ B, éventuellement les deux. x ∈ A̅ : x ∈ E et x ∉ A. Card(A) : le nombre d'éléments de A. 👉 Dans la négation d'une proposition avec « et », le « et » devient « ou ».
2. Étape 2 : 1) Les multiples de 3 compris entre 1 et 12 sont 3 = 3 × 1, 6 = 3 × 2, 9 = 3 × 3 et 12 = 3 × 4 : A = {3, 6, 9, 12}, donc Card(A) = 4. Les nombres pairs compris entre 1 et 12 sont : B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, donc Card(B) = 6.

   Card(A) = 4 ; Card(B) = 6

3. Étape 3 : 2) A ∩ B contient les éléments communs à A et à B : A ∩ B = {6, 12}, donc Card(A ∩ B) = 2. Un élément de E est dans A ∩ B s'il est multiple de 3 et pair. A ∪ B contient les éléments de A, puis ceux de B qui ne sont pas déjà écrits : A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}, donc Card(A ∪ B) = 8. Un élément de E est dans A ∪ B s'il est multiple de 3 ou pair. Contrôle : la somme 4 + 6 = 10 compterait deux fois 6 et 12, qui sont à la fois dans A et dans B ; on retrouve bien 10 - 2 = 8.

   A ∩ B = {6, 12} ; A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}

4. Étape 4 : 3) A̅ contient les éléments de E qui ne sont pas des multiples de 3 : A̅ = E ∖ A = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}, donc Card(A̅) = 8. Contrôle : E a 12 éléments, dont 4 sont dans A, et 12 - 4 = 8.

   Card(A̅) = 12 - 4 = 8

5. Étape 5 : 4) La négation de « P et Q » est « non P ou non Q ». La négation de « n est un multiple de 3 et n est pair » est donc : « n n'est pas un multiple de 3 ou n est impair ». Elle est vraie exactement quand la proposition de départ est fausse, c'est-à-dire pour les éléments de E qui ne sont pas dans A ∩ B = {6, 12}. Elle est donc vérifiée par 12 - 2 = 10 éléments de E : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10 et 11. Par exemple, 3 la vérifie (il est impair), 4 aussi (il n'est pas multiple de 3), mais pas 6.
6. Étape 6 : 5) On associe chaque lettre à chaque chiffre, dans cet ordre : la lettre, puis le chiffre. L × C = {(a ; 0), (a ; 1), (b ; 0), (b ; 1), (c ; 0), (c ; 1)} Il y a 3 lettres et 2 chiffres, donc 3 × 2 = 6 codes : Card(L × C) = 6. Le couple (0 ; a) n'est pas un élément de L × C : sa première composante, 0, n'est pas une lettre. Dans un couple, l'ordre compte.

   Card(L × C) = 3 × 2 = 6

7. Étape 7 : L'erreur classique : Nier « multiple de 3 et pair » en « pas multiple de 3 et impair ». Cette phrase n'est vérifiée que par 1, 5, 7 et 11 : elle oublie par exemple 3, pour lequel la proposition de départ est pourtant fausse. Autre erreur : trouver Card(A ∪ B) = 10 en additionnant 4 et 6, ce qui compte deux fois les éléments communs. À retenir : « et » correspond à l'intersection, « ou » à la réunion, « non » au complémentaire. 👉 Nier « P et Q » donne « non P ou non Q ».