Exprimer une variable en fonction des autres

Énoncé

1. La loi d'Ohm s'écrit U = RI, où U est une tension (en volts), R une résistance (en ohms) et I une intensité (en ampères). Exprimer I en fonction de U et de R, puis calculer I pour U = 230 V et R = 46 ohms. 2. Un train roule à vitesse constante v ; la distance parcourue en un temps t est d = vt. Exprimer t en fonction de d et de v, puis calculer la durée d'un trajet de 210 km à 84 km/h. 3. Le volume d'un pavé droit de dimensions a, b et c est V = abc. Exprimer c en fonction de V, a et b, puis calculer c pour V = 60 cm³, a = 3 cm et b = 4 cm. 4. Exprimer y en fonction de x dans la relation 3x + 2y = 12, puis x en fonction de y.

Indice : Traite la lettre cherchée comme l'inconnue d'une équation, et les autres lettres comme des nombres connus.

Correction

1. Étape 1 : Exprimer une grandeur en fonction des autres, c'est résoudre une équation dont l'inconnue est cette grandeur, en traitant les autres lettres comme des nombres connus. Les gestes autorisés : Ajouter ou soustraire une même quantité aux deux membres ; multiplier ou diviser les deux membres par une même quantité non nulle. 👉 Avant de diviser, on vérifie que le diviseur ne peut pas être nul : une résistance, une vitesse ou une longueur sont ici strictement positives.
2. Étape 2 : 1) U = RI. Comme R ≠ 0, on divise les deux membres par R : I = U/R Pour U = 230 V et R = 46 ohms : I = 230/46 = 5 A. Contrôle : 46 × 5 = 230 ✓

   I = U/R = 5 A

3. Étape 3 : 2) d = vt. Comme v ≠ 0, on divise par v : t = d/v Pour 210 km à 84 km/h : t = 210/84 = 2,5 h. 0,5 h est une demi-heure, soit 30 minutes : le trajet dure 2 h 30 min.

   t = d/v = 2,5 h

4. Étape 4 : 3) Dans V = abc, la longueur c est multipliée par le produit ab, qui n'est pas nul puisque a > 0 et b > 0. On divise donc les deux membres par ab tout entier : c = V/ab Pour V = 60 cm³, a = 3 cm et b = 4 cm : c = 60/(3 × 4) = 5 cm. Contrôle : 3 × 4 × 5 = 60 ✓

   c = V/ab

5. Étape 5 : 4) Pour y : on soustrait 3x, puis on divise par 2. 2y = 12 - 3x ⟹ y = (12 - 3x)/2 = 6 - 3/2x Pour x : on soustrait 2y, puis on divise par 3. 3x = 12 - 2y ⟹ x = (12 - 2y)/3 = 4 - 2/3y Contrôle avec x = 2 : la première formule donne y = 6 - 3 = 3, et l'on a bien 3 × 2 + 2 × 3 = 12 ✓

   y = 6 - 3/2x ; x = 4 - 2/3y

6. Étape 6 : L'erreur classique : Lire 2,5 h comme « 2 h 50 min ». Une heure compte 60 minutes, pas 100 : 0,5 h = 0,5 × 60 = 30 min. Autre piège : ne diviser que par une partie du facteur, et écrire c = V/a × b. C'est par le produit ab tout entier qu'il faut diviser, puisqu'il multiplie c. À retenir : Mêmes gestes que pour une équation, en divisant seulement par une quantité non nulle. 👉 Contrôle gratuit : remplacer les lettres par des valeurs simples et vérifier que la formule de départ est satisfaite.