Encadrer, arrondir, additionner des inégalités

Énoncé

1. On a 1/7 = 0,142857… Donner un encadrement de 1/7 par deux décimaux d'amplitude 10⁻³, puis l'arrondi de 1/7 à 10⁻² près. 2. On sait que 1,414 ≤ √(2) ≤ 1,415 et 2,236 ≤ √(5) ≤ 2,237. En déduire un encadrement de √(2) + √(5). Quelle est son amplitude ? 3. Une voiture parcourt 245 km en 2,8 h. Calculer sa vitesse moyenne, puis l'arrondir avec un nombre de chiffres significatifs adapté aux données.

Indice : Additionne les bornes inférieures entre elles, et les bornes supérieures entre elles. Pour arrondir un résultat, regarde le nombre de chiffres significatifs de la donnée la moins précise.

Correction

1. Étape 1 : Trois façons de remplacer un nombre qu'on ne peut pas écrire en entier par des décimaux : l'encadrer, l'arrondir, et encadrer une somme à partir d'encadrements connus. Somme d'inégalités : Si a ≤ b et c ≤ d, alors a + c ≤ b + d. 👉 L'amplitude d'un encadrement a ≤ x ≤ b est l'écart b - a : plus elle est petite, plus l'encadrement est précis.
2. Étape 2 : 1) On garde trois chiffres après la virgule : 0,142 ≤ 1/7 ≤ 0,143. L'amplitude vaut bien 0,143 - 0,142 = 0,001 = 10⁻³. Pour l'arrondi à 10⁻² près, on regarde le troisième chiffre après la virgule : c'est un 2, donc on garde 0,14. En effet, 1/7 ≈ 0,1429 est plus proche de 0,14 que de 0,15.

   0,142 ≤ 1/7 ≤ 0,143 ; 1/7 ≈ 0,14

3. Étape 3 : 2) D'après la somme d'inégalités, on additionne les bornes inférieures entre elles, puis les bornes supérieures entre elles : 1,414 + 2,236 ≤ √(2) + √(5) ≤ 1,415 + 2,237 3,650 ≤ √(2) + √(5) ≤ 3,652 Son amplitude vaut 3,652 - 3,650 = 0,002 : c'est la somme des deux amplitudes, 0,001 + 0,001. Additionner des valeurs approchées additionne aussi leurs imprécisions.

   3,650 ≤ √(2) + √(5) ≤ 3,652

4. Étape 4 : 3) v = 245/(2,8) = 87,5 km/h. La durée 2,8 h n'a que deux chiffres significatifs ; la distance 245 km en a trois. Le résultat ne peut pas être plus précis que la donnée la moins précise : on garde deux chiffres significatifs. v ≈ 88 km/h

   v ≈ 88 km/h

5. Étape 5 : L'erreur classique : Vouloir encadrer √(5) - √(2) en soustrayant les encadrements membre à membre : on trouverait 2,236 - 1,414 = 0,822 et 2,237 - 1,415 = 0,822, soit « 0,822 ≤ √(5) - √(2) ≤ 0,822 ». C'est faux : √(5) - √(2) = 0,82185…, qui est inférieur à 0,822. Les inégalités s'additionnent ; elles ne se soustraient pas. À retenir : Bornes inférieures avec bornes inférieures, bornes supérieures avec bornes supérieures : l'amplitude d'une somme est la somme des amplitudes. 👉 On arrondit un résultat avec autant de chiffres significatifs que la donnée la moins précise.