Multiples, diviseurs, pairs et impairs

Énoncé

1. 168 est-il un multiple de 14 ? de 15 ? Justifier. 2. Donner la liste de tous les diviseurs positifs de 30. 3. Démontrer que la somme de deux nombres impairs est un nombre pair. 4. Démontrer que le carré d'un nombre pair est un multiple de 4.

Indice : Reviens aux définitions : a est un multiple de b s'il existe un entier k tel que a = kb ; un nombre impair s'écrit 2k + 1, un nombre pair 2k, avec k entier.

Correction

1. Étape 1 : Les quatre questions se règlent en revenant aux définitions, et seulement à elles. Les définitions qui servent : a est un multiple de b s'il existe un entier k tel que a = kb ; on dit aussi que b est un diviseur de a. n est pair s'il s'écrit n = 2k, impair s'il s'écrit n = 2k + 1, avec k entier. 👉 Pour une démonstration, on ne prend pas d'exemple : on écrit les nombres avec des lettres, on calcule, puis on reconnaît la forme voulue, par exemple « 2 × (un entier) » pour un nombre pair.
2. Étape 2 : 1) 168/14 = 12, qui est un entier : 168 = 12 × 14, donc 168 est un multiple de 14. 168/15 = 11,2, qui n'est pas un entier : 168 n'est pas un multiple de 15. On le voit aussi en encadrant : 15 × 11 = 165 < 168 < 180 = 15 × 12, donc 168 tombe entre deux multiples consécutifs de 15.

   168 = 12 × 14

3. Étape 3 : 2) On cherche les diviseurs par paires dont le produit vaut 30 : 30 = 1 × 30 = 2 × 15 = 3 × 10 = 5 × 6 4 ne divise pas 30, puisque 30/4 = 7,5. Après 5 × 6, on retrouverait les mêmes paires dans l'autre ordre : on peut s'arrêter. Les diviseurs positifs de 30 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30.

   1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

4. Étape 4 : 3) Soient m et n deux nombres impairs. Il existe deux entiers k et k' tels que m = 2k + 1 et n = 2k' + 1. m + n = 2k + 1 + 2k' + 1 = 2k + 2k' + 2 = 2(k + k' + 1) Comme k et k' sont des entiers, k + k' + 1 est un entier : m + n s'écrit 2 × (un entier), donc m + n est pair. Contrôle sur un exemple, qui ne remplace pas la preuve : 7 + 9 = 16 = 2 × 8.

   m + n = 2(k + k' + 1)

5. Étape 5 : 4) Soit n un nombre pair : il existe un entier k tel que n = 2k. n² = (2k)² = 4k² = 4 × k² Comme k est un entier, k² est un entier : n² s'écrit 4 × (un entier), donc n² est un multiple de 4. Contrôle : 6² = 36 = 4 × 9.

   n² = 4k²

6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire les deux impairs avec la même lettre, m = 2k + 1 et n = 2k + 1. On ne démontre alors le résultat que pour deux nombres égaux. Autre erreur : conclure à partir d'exemples, comme 3 + 5 = 8 et 7 + 9 = 16. Mille exemples ne font pas une démonstration, puisqu'il reste une infinité de cas non vérifiés. À retenir : Pour démontrer qu'un nombre est un multiple de a, on l'écrit sous la forme a × (quelque chose), puis on justifie que ce quelque chose est un entier. 👉 Deux nombres quelconques s'écrivent avec deux lettres différentes : k et k'.