Puissances de 10 et notation scientifique

Énoncé

1. Écrire en notation scientifique : a) 0{,}000\,056 b) 128\,400\,000 2. Calculer et donner le résultat en notation scientifique : [formule] 3. La distance Terre–Soleil est environ d = 1{,}5 10^{11} m. La lumière parcourt 3 10^{8} m par seconde. Combien de temps met la lumière pour aller du Soleil à la Terre ?

Indice : Regroupe les coefficients entre eux et les puissances de 10 entre elles. Pour la question 3, le temps est t = d{v}.

Correction

1. Étape 1 : Trois questions, dont la dernière est un vrai problème de physique. Le fil : la notation scientifique sert à calculer sur des ordres de grandeur sans jamais manipuler des nombres à quinze chiffres. La marche à suivre, à chaque fois : 1. séparer les coefficients et les puissances de 10 ; 2. calculer chacun de son côté ; 3. réajuster pour que le coefficient soit entre 1 et 10 ; 4. convertir dans une unité parlante, s'il s'agit d'un problème concret. 👉 L'étape 4 est celle qu'on oublie, et c'est souvent elle qui donne du sens au résultat.
2. Étape 2 : 1a) 0{,}000\,056 : la virgule se déplace de 5 rangs vers la droite pour donner 5{,}6. Le nombre étant plus petit que 1, l'exposant est négatif : 0{,}000\,056 = 5{,}6 10^{-5} 1b) 128\,400\,000 : la virgule se déplace de 8 rangs vers la gauche : 128\,400\,000 = 1{,}284 10^{8}

   5{,}6 10^{-5} ; 1{,}284 10^{8}

3. Étape 3 : 2) On sépare les deux parties du calcul. Coefficients : 6 5{1{,}5} = 30{1{,}5} = 20 Puissances de 10 : 10^{-3} 10^{7} 10^{2} = 10^{-3+7-2} = 10^{2} Ce qui donne A = 20 10^{2} — mais ce n'est pas encore la notation scientifique, car 20 n'est pas entre 1 et 10. On réajuste : [formule]

   A = 2 10^{3}

4. Étape 4 : 3) Le temps de parcours est t = d{v} : t = 1{,5 10^{11}}{3 10^{8}} = 1{,5}{3} 10^{11-8} = 0{,}5 10^{3} = 500 s Conversion. 500 secondes ne parle à personne : 500 60 8{,}33 minutes, et 0{,}33 60 = 20 secondes. [formule] 👉 C'est un ordre de grandeur célèbre : la lumière du Soleil met environ 8 minutes à nous parvenir. Ce que nous voyons du Soleil date d'il y a huit minutes.

   t = 500 s 8 min 20 s

5. Étape 5 : L'erreur classique : Rendre 20 10^2 ou 0{,}5 10^3 comme réponse finale. Ces écritures sont numériquement justes mais ne sont pas la notation scientifique : le coefficient doit être dans [1\,;\,10[. C'est une erreur de forme, mais elle coûte le point. À retenir : Séparer, calculer, réajuster, convertir. 👉 Et le contrôle qui vaut sur tout ce chapitre : vérifier l'ordre de grandeur contre ce qu'on sait du monde. Un temps de parcours de la lumière égal à 8 heures, ou à 8 millisecondes, se repère sans calcul.