Intervalles et valeur absolue

Énoncé

1. Résoudre dans R l'inéquation |x - 3| < 2. 2. Résoudre dans R l'inéquation |2x + 1| 5. 3. Écrire l'ensemble des solutions de la question 1 comme un intervalle et le représenter sur une droite graduée.

Indice : |x - a| < d signifie que la distance entre x et a est strictement inférieure à d, soit a - d < x < a + d.

Correction

1. Étape 1 : Même lecture « distance » que dans les autres exercices de valeur absolue, avec deux nouveautés : une inégalité stricte (donc des crochets ouverts), et un coefficient devant x à la question 2. Deux lectures possibles : Par la distance — quand le coefficient de x vaut 1 : [formule] Par l'encadrement — toujours valable : [formule] 👉 La première est plus rapide, la seconde plus générale. Dès que le coefficient de x n'est pas 1, c'est la seconde qu'il faut employer.
2. Étape 2 : 1) Le coefficient de x vaut 1 : on peut lire directement par la distance, avec le centre 3 et le rayon 2. |x-3| < 2 -2 < x - 3 < 2 1 < x < 5 L'inégalité est stricte, donc les bornes sont exclues : [formule]

   S_1 = \, ]1 \,;\, 5[

3. Étape 3 : 2) Ici le coefficient de x vaut 2 : la lecture par distance ne s'applique pas directement. On passe par l'encadrement : |2x+1| 5 -5 2x + 1 5 On soustrait 1 aux trois membres : -6 2x 4 On divise les trois membres par 2 (positif, donc le sens ne change pas) : [formule]

   S_2 = [-3 \,;\, 2]

4. Étape 4 : 3) L'ensemble S_1 = \,]1\,;\,5[ se représente par un segment de la droite graduée, avec des crochets ouverts (ou des ronds vides) en 1 et en 5, et la portion entre les deux coloriée. Les deux bornes ne font pas partie de l'ensemble : c'est ce que dit le crochet ouvert. 👉 Sur la figure ci-contre, le segment vert est exactement l'ensemble des x dont la distance à 3 est strictement inférieure à 2.
5. Étape 5 : L'erreur classique : N'appliquer l'opération qu'à deux membres sur trois de l'encadrement. En question 2, soustraire 1 seulement à gauche et au milieu donnerait -6 2x 5, donc un intervalle faux. Un encadrement se manipule d'un bloc : ce qu'on fait à un membre, on le fait aux trois. À retenir : Coefficient 1 devant x lecture par la distance (centre, rayon), immédiate. Coefficient différent de 1 encadrement, en opérant sur les trois membres. 👉 Et surveiller le type d'inégalité : < donne des crochets ouverts, des crochets fermés. C'est cette seule différence qui sépare ]1\,;5[ de [1\,;5].