Calcul avec des racines carrées (simplification et rationalisation)

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes : a) 72 + 38 - 18 b) (5 + 2)(5 - 2) c) 4{3 + 5}

Indice : Décompose chaque radicande en produit d'un carré parfait et d'un autre facteur. Pour rationaliser, multiplie par le conjugué du dénominateur.

Correction

1. Étape 1 : Trois questions, trois techniques différentes sur les racines — et c'est bien pour cela qu'elles sont réunies : il faut savoir laquelle s'applique. Les trois gestes : simplifier : sortir le plus grand carré parfait de sous la racine ; reconnaître une identité : (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 fait disparaître les racines d'un coup ; rationaliser : multiplier par le conjugué pour supprimer la racine du dénominateur.
2. Étape 2 : a) On simplifie chaque racine, en sortant le plus grand carré parfait : 72 = 36 2 = 62, 8 = 4 2 = 22, 18 = 9 2 = 32 Les trois portent alors la même racine 2, donc on peut les regrouper comme on regrouperait des « x » : 62 + 3 22 - 32 = 62 + 62 - 32 = 92

   72 + 38 - 18 = 92

3. Étape 3 : b) On reconnaît (a+b)(a-b) avec a = 5 et b = 2 : (5+2)(5-2) = (5)^2 - (2)^2 = 5 - 2 = 3 👉 Le résultat est un entier, alors que l'expression de départ ne contenait que des racines. C'est exactement l'intérêt de cette identité — et c'est aussi ce qui fait marcher la rationalisation de la question c).

   (5+2)(5-2) = 3

4. Étape 4 : c) Le conjugué de 3 + 5 est 3 - 5. On multiplie numérateur et dénominateur par lui : 4{3+5} = 4(3-{5)}{(3+5)(3-5)} = 4(3-{5)}{9-5} = 4(3-{5)}{4} Le 4 se simplifie : [formule]

   4{3+5} = 3 - 5

5. Étape 5 : L'erreur classique : Confondre (5+2)(5-2) et (5+2)^2. Les signes opposés sont indispensables : c'est eux qui font s'annuler les deux doubles produits. Avec le même signe, on obtiendrait 5 + 210 + 2 = 7 + 210 — et la racine ne disparaît pas. À retenir : Le conjugué de a + b est a - b, et leur produit vaut a^2 - b : un nombre sans racine. 👉 C'est pour cette seule raison que la rationalisation fonctionne. Le comprendre évite d'avoir à retenir une recette de plus.