Expression algébrique et démonstration

Énoncé

On considère l'expression C = (3x - 1)(2x + 5) - (3x - 1)(x - 2). 1. Développer et réduire C. 2. Factoriser C. 3. Résoudre C = 0. 4. Calculer C pour x = 2. Simplifier au maximum.

Indice : Pour factoriser, repère le facteur commun (3x-1).

Correction

1. Étape 1 : Quatre questions sur une même expression, et le fil est le même que dans l'exercice précédent sur la factorisation : choisir la bonne forme fait toute la différence. Quelle forme pour quel usage : développée pour comparer, additionner, reconnaître un degré ; factorisée pour résoudre C = 0, et pour calculer une valeur numérique quand elle contient une racine. 👉 La question 4 le montre : calculer C(2) avec la forme développée demanderait d'élever 2 au carré puis de manipuler trois termes ; avec la forme factorisée, deux facteurs suffisent. L'énoncé le suggère par « simplifier au maximum ».
2. Étape 2 : 1) Développer. On développe chaque produit séparément : (3x-1)(2x+5) = 6x^2 + 15x - 2x - 5 = 6x^2 + 13x - 5 (3x-1)(x-2) = 3x^2 - 6x - x + 2 = 3x^2 - 7x + 2 Puis on soustrait, en distribuant le signe sur les trois termes : C = (6x^2 + 13x - 5) - (3x^2 - 7x + 2) = 6x^2 + 13x - 5 - 3x^2 + 7x - 2 [formule]

   C = 3x^2 + 20x - 7

3. Étape 3 : 2) Factoriser. On repart de l'expression d'origine, où le facteur (3x-1) est visible dans les deux termes : C = (3x-1)[(2x+5) - (x-2)] = (3x-1)(2x + 5 - x + 2) [formule] Contrôle : (3x-1)(x+7) = 3x^2 + 21x - x - 7 = 3x^2 + 20x - 7 ✓ — on retrouve bien la question 1.

   C = (3x-1)(x+7)

4. Étape 4 : 3) Résoudre C = 0. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : C = 0 3x - 1 = 0 \ ou \ x + 7 = 0 [formule]

   S = \{-7 \,;\, 1{3}\}

5. Étape 5 : 4) Calculer C(2). On emploie la forme factorisée, car elle est plus courte : C(2) = (32 - 1)(2 + 7) On développe, en se rappelant que 2 2 = 2 : = 32 2 + 32 7 - 1 2 - 1 7 = 3 2 + 212 - 2 - 7 = 6 + 202 - 7 [formule] Contrôle par valeur approchée : -1 + 20 1{,}414 27{,}28, et la forme développée donne 3 2 + 202 - 7 27{,}28 ✓

   C(2) = -1 + 202

6. Étape 6 : L'erreur classique : Développer d'abord, puis chercher à factoriser 3x^2 + 20x - 7. Le facteur commun (3x-1) est visible dans l'expression initiale ; une fois celle-ci développée, il devient invisible, et la Seconde ne dispose d'aucune méthode pour le retrouver. On se bloque alors sur une question qui tient en deux lignes. À retenir : Lire l'expression d'origine avant de la développer. Un facteur commun ou une identité remarquable s'y voient ; après développement, plus rien. Et pour une valeur numérique contenant une racine, choisir la forme la plus courte — presque toujours la factorisée.