Expression algébrique et démonstration

Énoncé

On considère l'expression C = (3x - 1)(2x + 5) - (3x - 1)(x - 2). 1. Développer et réduire C. 2. Factoriser C. 3. Résoudre C = 0. 4. Calculer C pour x = 2. Simplifier au maximum.

Indice : Pour factoriser, repère le facteur commun (3x-1).

Correction

1. Étape 1 : **1)** On développe chaque produit.

   (3x-1)(2x+5) = 6x^2 + 15x - 2x - 5 = 6x^2 + 13x - 5

2. Étape 2 : On développe le second produit et on calcule la différence.

   (3x-1)(x-2) = 3x^2 - 6x - x + 2 = 3x^2 - 7x + 2

3. Étape 3 : Donc C = (6x^2 + 13x - 5) - (3x^2 - 7x + 2).

   C = 6x^2 + 13x - 5 - 3x^2 + 7x - 2 = 3x^2 + 20x - 7

4. Étape 4 : **2)** On repère le facteur commun (3x - 1) dans l'expression initiale.

   C = (3x - 1)[(2x + 5) - (x - 2)] = (3x - 1)(2x + 5 - x + 2) = (3x - 1)(x + 7)

5. Étape 5 : **3)** On utilise la forme factorisée : C = 0 ssi l'un des facteurs est nul.

   C = 0 3x - 1 = 0 ou x + 7 = 0 x = 1{3} ou x = -7

6. Étape 6 : **4)** Pour x = 2, on utilise la forme factorisée car c'est plus rapide.

   C = (32 - 1)(2 + 7) = 3 2 + 212 - 2 - 7 = 6 + 202 - 7 = -1 + 202