Problème avec des puissances

Énoncé

La masse de la Terre est environ M_T = 5{,}97 10^{24} kg et la masse de la Lune est environ M_L = 7{,}35 10^{22} kg. 1. Combien de fois la Terre est-elle plus lourde que la Lune ? 2. La masse du Soleil est M_S = 1{,}99 10^{30} kg. Combien de masses terrestres faut-il pour atteindre la masse du Soleil ? 3. Exprimer le résultat de la question 2 en notation scientifique.

Indice : Pour comparer, divise les masses. Pense à regrouper les coefficients et les puissances de 10.

Correction

1. Étape 1 : Trois questions, et toutes se ramènent à la même opération : diviser deux nombres écrits en notation scientifique. Diviser deux écritures scientifiques : [formule] On sépare les coefficients d'un côté, les puissances de 10 de l'autre. 👉 Et un contrôle qui vaut mieux que la calculatrice : la Terre est beaucoup plus lourde que la Lune, donc le premier quotient doit être grand. Le Soleil est énormément plus lourd que la Terre, donc le second doit être bien plus grand encore. Un résultat inférieur à 1 signalerait une division à l'envers.
2. Étape 2 : 1) On divise la masse de la Terre par celle de la Lune : M_T{M_L} = 5{,97 10^{24}}{7{,}35 10^{22}} = 5{,97}{7{,}35} 10^{24-22} 0{,}812 10^{2} [formule] La Terre est environ 81 fois plus lourde que la Lune. ℹ️ Le coefficient 0{,}812 est inférieur à 1, ce qui est normal ici puisque 5{,}97 < 7{,}35 — c'est le facteur 10^2 qui rend le résultat grand.

   M_T{M_L} 81

3. Étape 3 : 2) Même geste avec le Soleil et la Terre : M_S{M_T} = 1{,99 10^{30}}{5{,}97 10^{24}} = 1{,99}{5{,}97} 10^{30-24} 0{,}333 10^{6} 👉 Le rapport 1{,99}{5{,}97} vaut exactement 1{3}, car 5{,}97 = 3 1{,}99. Repérer ce genre de coïncidence évite la calculatrice et donne un résultat exact.

   M_S{M_T} 0{,}333 10^{6}

4. Étape 4 : 3) 0{,}333 10^{6} n'est pas en notation scientifique : le coefficient doit être compris entre 1 et 10. On décale d'un rang : 0{,}333 = 3{,}33 10^{-1}, donc [formule] Il faut environ 3{,}33 10^5 333\,000 Terres pour atteindre la masse du Soleil.

   3{,}33 10^{5} 333\,000

5. Étape 5 : L'erreur classique : S'arrêter à 0{,}333 10^6 en croyant avoir répondu. Le nombre est juste, l'écriture ne l'est pas : la notation scientifique exige un coefficient entre 1 et 10. Second piège : diviser à l'envers. Le contrôle par le bon sens l'attrape aussitôt — un quotient « masse du Soleil sur masse de la Terre » ne peut pas valoir 3 10^{-6}. À retenir : Séparer coefficients et puissances de 10, calculer chacun de son côté, puis réajuster le coefficient. 👉 Et toujours vérifier l'ordre de grandeur du résultat contre ce qu'on sait du problème. Sur des nombres à 30 chiffres, c'est le seul contrôle qu'un humain puisse faire de tête.