Calculs avec des radicaux composés

Énoncé

Simplifier l'expression : [formule]

Indice : Simplifie d'abord chaque racine. Pour le deuxième terme, rationalise le dénominateur en multipliant par le conjugué.

Correction

1. Étape 1 : Deux fractions à traiter séparément, chacune par une technique différente : simplification des racines pour la première, rationalisation par le conjugué pour la seconde. On ne les additionne qu'à la fin. Le conjugué fait disparaître la racine : [formule] Multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur supprime la racine du dénominateur. 👉 Réflexe préalable, valable dans les deux morceaux : simplifier toutes les racines d'abord. Une expression où traînent 75 et 27 paraît compliquée ; réécrite en 3, elle devient élémentaire.
2. Étape 2 : Simplification des trois racines. On sort à chaque fois le plus grand carré parfait : 75 = 25 3 = 53 27 = 9 3 = 33 12 = 4 3 = 23 👉 Les trois portent la même racine 3 : ce n'est pas un hasard, c'est ce qui rend la première fraction si simple.

   75 = 53 ; 27 = 33 ; 12 = 23

3. Étape 3 : Première fraction. {75 - 27}{12} = 5{3 - 33}{23} = 2{3}{23} = 1 Le numérateur et le dénominateur sont devenus identiques, donc la fraction vaut exactement 1 — puisque tout nombre non nul divisé par lui-même vaut 1.

   {75 - 27}{12} = 1

4. Étape 4 : Seconde fraction. Le conjugué de 3 - 3 est 3 + 3. On multiplie numérateur et dénominateur par lui : 2{3-3} = 2(3+{3)}{(3-3)(3+3)} Le dénominateur devient 3^2 - (3)^2 = 9 - 3 = 6 : 2(3+{3)}{6} = 3+{3}{3} Somme finale, en mettant 1 sur le dénominateur 3 : B = 1 + 3+{3}{3} = 3{3} + 3+{3}{3} = 6+{3}{3}

   B = 6+{3}{3}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Multiplier seulement le dénominateur par le conjugué. On change alors la valeur de la fraction, et tout le reste est faux. Multiplier haut et bas par la même quantité, c'est multiplier par 1 : c'est ce qui rend l'opération légitime. Multiplier un seul des deux ne l'est pas. À retenir : Simplifier les racines d'abord, rationaliser ensuite. Le conjugué de a - b est a + b. 👉 Contrôle final par valeur approchée : 6+{3}{3} 7{,73}{3} 2{,}58. Et l'expression de départ, calculée à la machine, donne bien 2{,}58 ✓