Double développement et factorisation

Énoncé

Soit A = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2. 1. Développer et réduire A. 2. Factoriser A. 3. En déduire les solutions de A = 0.

Indice : Pour la factorisation, utilise a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) directement sur l'expression de départ.

Correction

1. Étape 1 : Les questions 1 et 2 demandent la même expression sous deux formes différentes, et la question 3 montre à quoi sert la seconde. C'est le fil de tout le chapitre : Chaque forme a son usage : la forme développée sert à calculer une valeur ; la forme factorisée sert à résoudre une équation. 👉 Et le raccourci qui rend la question 2 immédiate : A est déjà une différence de deux carrés. Il ne faut donc surtout pas partir de la forme développée obtenue en 1) — on n'en sortirait pas.
2. Étape 2 : 1) Développer. On développe chaque carré séparément : (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 et (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 Puis on soustrait — et c'est ici qu'il faut être attentif : A = 4x^2 + 4x + 1 - (x^2 - 6x + 9) = 4x^2 + 4x + 1 - x^2 + 6x - 9 ⚠️ Le signe « - » se distribue sur les trois termes du second carré : -6x devient +6x, et +9 devient -9. [formule]

   A = 3x^2 + 10x - 8

3. Étape 3 : 2) Factoriser. On repart de l'expression d'origine, qui est de la forme a^2 - b^2 avec a = 2x+1 et b = x-3 : A = [(2x+1) - (x-3)][(2x+1) + (x-3)] On simplifie chaque crochet séparément : (2x+1) - (x-3) = 2x + 1 - x + 3 = x + 4 (2x+1) + (x-3) = 2x + 1 + x - 3 = 3x - 2 [formule] Contrôle : en redéveloppant, (x+4)(3x-2) = 3x^2 - 2x + 12x - 8 = 3x^2 + 10x - 8 — identique à la question 1 ✓

   A = (x+4)(3x-2)

4. Étape 4 : 3) Résoudre A = 0. C'est ici que la forme factorisée paie : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est. A = 0 x + 4 = 0 \ ou \ 3x - 2 = 0 [formule]

   S = \{-4 \,;\, 2{3}\}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Chercher à factoriser 3x^2 + 10x - 8 à partir de la forme développée. En Seconde, on ne dispose pas encore du discriminant : la seule voie praticable est de repartir de l'expression d'origine, qui est déjà une différence de carrés. Perdre ce fil, c'est se retrouver bloqué sur une question pourtant faisable en trois lignes. À retenir : Le mot « en déduire » d'un énoncé signale toujours qu'il faut se servir de la question précédente — ici, de la forme factorisée. Et la règle qui la rend utile : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. C'est la seule méthode de résolution disponible en Seconde pour une équation du second degré.