Double développement et factorisation

Énoncé

Soit A = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2. 1. Développer et réduire A. 2. Factoriser A. 3. En déduire les solutions de A = 0.

Indice : Pour la factorisation, utilise a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) directement sur l'expression de départ.

Correction

1. Étape 1 : **1)** On développe chaque carré séparément puis on réduit.

   (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 et (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9

2. Étape 2 : On calcule la différence :

   A = 4x^2 + 4x + 1 - (x^2 - 6x + 9) = 4x^2 + 4x + 1 - x^2 + 6x - 9 = 3x^2 + 10x - 8

3. Étape 3 : **2)** On reconnaît que A est de la forme a^2 - b^2 avec a = 2x+1 et b = x-3.

   A = (2x+1)^2 - (x-3)^2 = [(2x+1) - (x-3)][(2x+1) + (x-3)]

4. Étape 4 : On simplifie chaque facteur.

   A = (2x + 1 - x + 3)(2x + 1 + x - 3) = (x + 4)(3x - 2)

5. Étape 5 : **3)** Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.

   A = 0 x + 4 = 0 ou 3x - 2 = 0 x = -4 ou x = 2{3}