Intervalles et valeur absolue

Énoncé

1. Représenter sur une droite graduée l'intervalle [-2 ; 5[ et donner l'ensemble des entiers relatifs qui y appartiennent. 2. Résoudre dans R : |x - 3| = 5 3. Déterminer l'ensemble des réels x tels que |x - 1| 4.

Indice : |x - a| = d signifie que la distance entre x et a est d. |x - a| d donne a - d x a + d.

Correction

1. Étape 1 : |x - a| se lit « la distance entre x et a ». C'est cette lecture — et non la définition par cas — qui rend tous les exercices de valeur absolue immédiats. La valeur absolue, lue comme une distance : [formule] [formule] 👉 Le centre est a, le rayon est d. Une fois ces deux nombres repérés, la réponse s'écrit sans calcul.
2. Étape 2 : 1) L'intervalle [-2\,;\,5[ contient tous les réels de -2 inclus (crochet fermé) à 5 exclu (crochet ouvert). Les entiers relatifs qu'il contient sont donc : [formule] ⚠️ 5 n'y est pas : le crochet ouvert l'exclut. C'est toute la différence entre 7 entiers et 8.

   \{-2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\}

3. Étape 3 : 2) |x - 3| = 5 se lit : « x est à distance exactement 5 de 3 ». Il y a donc deux positions possibles, une de chaque côté : x = 3 - 5 = -2 ou x = 3 + 5 = 8 [formule] Contrôle : |-2 - 3| = |-5| = 5 ✓ et |8 - 3| = 5 ✓

   S = \{-2 \,;\, 8\}

4. Étape 4 : 3) |x - 1| 4 se lit : « x est à distance au plus 4 de 1 ». C'est donc tout un segment, centré en 1 et de rayon 4 : 1 - 4 x 1 + 4 soit -3 x 5 [formule] Les bornes sont incluses parce que l'inégalité est large ().

   S = [-3 \,;\, 5]

5. Étape 5 : L'erreur classique : Traiter |x-3| = 5 comme s'il s'agissait de x - 3 = 5, et ne donner qu'une seule solution. Une équation || = d avec d > 0 a toujours deux solutions, une de chaque côté du centre. Oublier la seconde, c'est perdre la moitié de la réponse — et c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre. À retenir : Centre a, rayon d. Repérer ces deux nombres, et la réponse s'écrit. Et surveiller les crochets : un crochet ouvert exclut sa borne. C'est ce qui distingue ]1\,;5[ de [1\,;5], donc 3 entiers de 5.