Écriture scientifique et puissances de 10

Énoncé

1. Écrire en notation scientifique : a) 0{,}00042 b) 375\,000 2. Calculer et donner le résultat en notation scientifique : [formule]

Indice : La notation scientifique est de la forme a 10^n avec 1 a < 10. Pour le calcul, regroupe les coefficients et les puissances de 10.

Correction

1. Étape 1 : La notation scientifique s'écrit a 10^n avec une contrainte stricte : 1 a < 10. Elle n'est pas décorative — c'est elle qui rend l'écriture unique, donc comparable d'un nombre à l'autre. Trouver l'exposant : Compter de combien de rangs la virgule se déplace : vers la droite (nombre plus petit que 1) exposant négatif ; vers la gauche (nombre plus grand que 10) exposant positif. 👉 Contrôle immédiat : un nombre inférieur à 1 a forcément un exposant négatif. Si le signe ne colle pas, inutile de chercher plus loin.
2. Étape 2 : 1a) 0{,}00042 : la virgule doit se déplacer de 4 rangs vers la droite pour donner 4{,}2. 0{,}00042 = 4{,}2 10^{-4} Le nombre est plus petit que 1, donc l'exposant est négatif ✓ 1b) 375\,000 : la virgule (implicite après le dernier zéro) se déplace de 5 rangs vers la gauche. 375\,000 = 3{,}75 10^{5}

   0{,}00042 = 4{,}2 10^{-4} ; 375\,000 = 3{,}75 10^{5}

3. Étape 3 : 2) On sépare les coefficients d'un côté, les puissances de 10 de l'autre. Coefficients : 3 2{4} = 6{4} = 1{,}5 Puissances de 10 : 10^5 10^{-3}{10^{-2}} = 10^{5 + (-3) - (-2)} ⚠️ C'est ici qu'est le piège : soustraire un exposant négatif revient à l'ajouter. Donc 5 - 3 + 2 = 4. [formule] Contrôle : le coefficient 1{,}5 est bien entre 1 et 10 ✓

   1{,}5 10^{4}

4. Étape 4 : L'erreur classique : S'arrêter à une écriture du type 15 10^3 en croyant avoir fini. Ce nombre est juste (15 10^3 = 15\,000 = 1{,}5 10^4), mais ce n'est pas la notation scientifique : 15 n'est pas compris entre 1 et 10. Il faut décaler d'un rang de plus. Second piège : oublier que -(-2) = +2 dans le calcul des exposants. On trouverait 10^0 au lieu de 10^4, soit dix mille fois trop petit. À retenir : Coefficient toujours entre 1 et 10, sans exception. Séparer coefficients et puissances de 10, les traiter séparément, puis réajuster le coefficient si nécessaire. 👉 Et vérifier le signe de l'exposant par l'ordre de grandeur : c'est gratuit et ça attrape la moitié des erreurs.