Calculer avec des racines carrées

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes : a) 50 b) 312 - 227 c) 6{3}

Indice : Pour simplifier n, cherche le plus grand carré parfait qui divise n. Pour rationaliser, multiplie par {a}{a}.

Correction

1. Étape 1 : Trois gestes bien distincts, qu'il ne faut pas confondre : sortir un carré parfait de sous la racine, regrouper des termes semblables, et rationaliser un dénominateur. Les deux propriétés qui servent : [formule] ⚠️ Et la règle qui manque, celle qu'on invente à tort : a + b a+b. L'addition ne se simplifie pas. On ne peut regrouper que des multiples d'une même racine, exactement comme on regrouperait des « x ».
2. Étape 2 : a) On cherche le plus grand carré parfait qui divise 50 : c'est 25, car 50 = 25 2. 50 = 25 2 = 25 2 = 52 👉 Prendre le plus grand évite d'avoir à recommencer : avec 50 = 4 12{,}5 on n'aurait rien gagné, et il resterait une racine simplifiable.

   50 = 52

3. Étape 3 : b) On simplifie chaque racine d'abord : 12 = 4 3 = 23 et 27 = 9 3 = 33 Les deux termes portent alors la même racine 3, donc on peut les regrouper : 312 - 227 = 3 23 - 2 33 = 63 - 63 = 0 👉 Un résultat aussi net mérite d'être vérifié. Contre-épreuve : 312 = 9 12 = 108 et 227 = 4 27 = 108 — les deux quantités sont bien le même nombre.

   312 - 227 = 0

4. Étape 4 : c) On rationalise : multiplier haut et bas par 3 fait disparaître la racine du dénominateur, puisque 3 3 = 3. 6{3} = 6 {3}{3 3} = 6{3}{3} = 23 👉 Pourquoi le faire ? Parce qu'un dénominateur irrationnel est difficile à comparer et à calculer : 6{3} ne se lit pas, alors que 23 3{,}46 s'estime de tête.

   6{3} = 23

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire a + b = a+b. Un contre-exemple suffit à s'en convaincre : 9 + 16 = 3 + 4 = 7, alors que 9+16 = 25 = 5. Les deux ne sont pas égaux. ⚠️ La propriété ab = ab vaut pour le produit, jamais pour la somme. À retenir : Sortir le plus grand carré parfait · regrouper les multiples d'une même racine comme des « x » · rationaliser en multipliant haut et bas. 👉 Contrôle final gratuit : une valeur approchée. 52 7{,}07 et 50 7{,}07 ✓