Factoriser des expressions algébriques

Énoncé

Factoriser les expressions suivantes : a) x^2 - 9 b) 4x^2 + 12x + 9 c) x^2 - 10x + 25

Indice : Reconnais les identités remarquables « à l'envers ». La première est une différence de deux carrés.

Correction

  1. Étape 1 : Factoriser, c'est le chemin inverse du développement : on part d'une somme et l'on cherche à l'écrire comme un produit. Ici, les trois expressions sont des identités remarquables lues à l'envers. Reconnaître laquelle s'applique : Deux termes, une différence de carrés a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) Trois termes, dont deux carrés vérifier si celui du milieu vaut 2ab 👉 Le contrôle qui décide dans le second cas : calculer 2ab et le comparer au terme du milieu. S'ils ne coïncident pas, ce n'est pas un carré parfait — et il faudra une autre méthode.
  2. Étape 2 : a) x^2 - 9 : deux termes, et une différence. 9 = 3^2, donc x^2 - 9 = x^2 - 3^2 est de la forme a^2 - b^2 avec a = x et b = 3. [formule]

    x^2 - 9 = (x-3)(x+3)

  3. Étape 3 : b) 4x^2 + 12x + 9 : trois termes. Les deux carrés : 4x^2 = (2x)^2 et 9 = 3^2, donc a = 2x et b = 3. Contrôle du double produit : 2ab = 2 2x 3 = 12x — c'est bien le terme du milieu ✓ Le signe est +, donc c'est la forme (a+b)^2 : [formule]

    4x^2 + 12x + 9 = (2x+3)^2

  4. Étape 4 : c) x^2 - 10x + 25 : trois termes. Les carrés : x^2 et 25 = 5^2, donc a = x et b = 5. Contrôle : 2ab = 2 x 5 = 10x ✓, et le signe du milieu est -, donc c'est (a-b)^2 : [formule]

    x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2

  5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure « carré parfait » dès qu'on voit deux carrés, sans vérifier le double produit. x^2 + 8x + 9 a bien deux carrés (x^2 et 3^2), mais 2ab = 6x 8x : ce n'est pas (x+3)^2, et cette expression ne se factorise pas avec les identités remarquables. C'est exactement pour cela que le contrôle du double produit existe. À retenir : Identifier les deux carrés, calculer 2ab, comparer au terme du milieu, lire le signe. 👉 Et le contrôle final, qui ne coûte rien : redévelopper le résultat. Si l'on retrouve l'expression de départ, la factorisation est juste.