Calculer avec des puissances

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes (écrire sous la forme d'une seule puissance) : a) 2^3 2^5 b) 5^7{5^3} c) (3^2)^4

Indice : Rappel des règles : a^m a^n = a^{m+n}, a^m{a^n} = a^{m-n} et (a^m)^n = a^{m n}.

Correction

1. Étape 1 : Trois règles, et c'est tout. Ce sont exactement celles qu'on retrouvera en Première pour l'exponentielle — les apprendre maintenant, c'est les apprendre deux fois moins. Les trois règles des puissances : [formule] ⚠️ Ces règles ne valent que pour une même base. 2^3 3^5 ne se simplifie pas : il n'y a rien à faire d'autre que de calculer 8 243.
2. Étape 2 : a) Les deux facteurs ont la même base 2, donc la première règle s'applique : puisque c'est un produit, on additionne les exposants. 2^3 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256 On peut retrouver la règle sans l'apprendre : 2^3 2^5, c'est trois 2 multipliés, fois cinq 2 multipliés — soit huit 2 en tout.

   2^3 2^5 = 2^8 = 256

3. Étape 3 : b) Même base 5, c'est un quotient : on soustrait. 5^7{5^3} = 5^{7-3} = 5^4 = 625

   5^7{5^3} = 5^4 = 625

4. Étape 4 : c) C'est une puissance de puissance, donc on multiplie les exposants. (3^2)^4 = 3^{2 4} = 3^8 = 6561 ⚠️ Bien multiplier, et non additionner : 3^6 = 729 serait neuf fois trop petit. Le repère qui l'évite : (3^2)^4 = 3^2 3^2 3^2 3^2, soit quatre fois l'exposant 2.

   (3^2)^4 = 3^8 = 6561

5. Étape 5 : L'erreur classique : Additionner les exposants dans une puissance de puissance : (3^2)^4 = 3^6. C'est la confusion entre (3^2)^4 et 3^2 3^4. Le premier vaut 3^8 = 6561, le second 3^6 = 729 — presque dix fois moins. À retenir : [formule] Et l'exigence qui les conditionne toutes : la même base.