Classer des nombres dans les ensembles

Énoncé

Indiquer à quel(s) ensemble(s) de nombres appartiennent les nombres suivants : -7 ; 3{5} ; 2 ; 0 ; 3{,}14 ;

Indice : Rappel : N Z Q R. Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous forme de fraction.

Correction

1. Étape 1 : La question demande « à quels ensembles » : le pluriel n'est pas une facilité de langage. Les ensembles de nombres sont emboîtés, donc un même nombre appartient presque toujours à plusieurs d'entre eux. Les ensembles s'emboîtent : [formule] Ce qui se lit : tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un décimal, tout décimal est un rationnel, tout rationnel est un réel. La réciproque est fausse à chaque étage — c'est bien ce qui rend les cinq ensembles différents. 👉 Le critère décisif, celui qui sépare Q de R : peut-on écrire le nombre comme une fraction de deux entiers ? Si oui il est rationnel, sinon il est irrationnel.
2. Étape 2 : -7 est un entier, mais négatif : il n'est donc pas dans N, qui ne contient que les entiers positifs. [formule] 3{5} est un quotient de deux entiers, donc rationnel. Ce n'est pas un entier, donc il n'est ni dans N ni dans Z. [formule]
3. Étape 3 : 2 est irrationnel : on démontre (par l'absurde) qu'aucune fraction d'entiers ne peut lui être égale. [formule] 0 est un entier naturel — oui, 0 N en France, c'est une convention à connaître. Il est donc dans les cinq ensembles. 3{,}14 est un décimal, donc rationnel : 3{,}14 = 314{100}. est irrationnel, comme 2.
4. Étape 4 : L'erreur classique : Croire que = 3{,}14, et les ranger dans le même ensemble. 3{,}14 est une valeur approchée de , et elle est rationnelle. , lui, vaut 3{,}14159265 : son écriture décimale ne s'arrête jamais et ne se répète jamais — c'est exactement ce qui l'empêche d'être une fraction d'entiers. Second piège : oublier que 0 N. À retenir : L'emboîtement N Z D Q R, et le critère qui tranche : une fraction de deux entiers ? 👉 Attention à une écriture décimale qui « se répète » : 0{,}333 = 1{3} est bien rationnel. Ce qui caractérise un irrationnel, c'est que son écriture ne s'arrête ni ne devient périodique.