Un hexagone régulier dans le cercle

Énoncé

Les points A_0, A_1, A_2, A_3, A_4, A_5 sont, dans le sens direct, les sommets d'un hexagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique, avec A_0 = I(1\,;\,0). a) Donner le réel de [0\,;\,2[ associé à chaque sommet. b) Donner les coordonnées exactes des six sommets. c) Calculer la longueur A_0A_1, puis le périmètre de l'hexagone. d) En comparant ce périmètre à celui du cercle, établir une inégalité vérifiée par .

Correction

1. Étape 1 : Un hexagone régulier inscrit découpe le cercle en six arcs égaux. Le tour complet mesurant 2, chaque arc mesure 2{6} = {3} : on passe d'un sommet au suivant en ajoutant {3}. Les coordonnées s'obtiennent ensuite avec les valeurs remarquables et les angles associés, et la longueur d'un côté avec la formule de la distance.
2. Étape 2 : a) En partant de A_0, image de 0, et en ajoutant {3} à chaque sommet : | sommet | réel | | --- | --- | | A_0 | 0 | | A_1 | {3} | | A_2 | 2{3} | | A_3 | | | A_4 | 4{3} | | A_5 | 5{3} | Le suivant serait 6{3} = 2 : on retombe sur A_0, l'hexagone se referme.
3. Étape 3 : b) A_1 est l'image de {3} : A_1(1{2}\,;\,{3}{2}). Les autres en sont des symétriques : - 2{3} = - {3} (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées) : A_2(-1{2}\,;\,{3}{2}) ; - 4{3} = + {3} (symétrie par rapport à O) : A_4(-1{2}\,;\,-{3}{2}) ; - 5{3} a la même image que -{3} (symétrie par rapport à l'axe des abscisses) : A_5(1{2}\,;\,-{3}{2}) ; - et bien sûr A_0(1\,;\,0), A_3(-1\,;\,0).
4. Étape 4 : c) Dans un repère orthonormé, la distance entre A_0(1\,;\,0) et A_1(1{2}\,;\,{3}{2}) vaut : [formule] Le côté est égal au rayon — ce qui se voyait aussi : le triangle OA_0A_1 a deux côtés de longueur 1 et un angle de 60° en O, il est équilatéral. Les six côtés étant égaux, le périmètre vaut 6 1 = 6.

   périmètre = 6

5. Étape 5 : d) Chaque côté de l'hexagone est un segment qui joint deux points du cercle ; il est plus court que l'arc qui joint ces deux mêmes points, car la ligne droite est le plus court chemin. En additionnant les six côtés et les six arcs : [formule] C'est l'idée d'Archimède : avec des polygones inscrits et circonscrits de 6, 12, 24, 48 puis 96 côtés, il a encadré entre 3{,}1408 et 3{,}1429.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Ajouter {6} d'un sommet au suivant, en confondant « six sommets » et « un sixième de demi-tour ». On obtiendrait six points, de 0 à 5{6}, qui ne couvrent que la moitié haute du cercle : la moitié d'un dodécagone régulier, pas un hexagone. Le pas est 2{n} pour un polygone régulier à n sommets. À retenir : Retiens-le : les sommets d'un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle trigonométrique, à partir de I, sont les images de 0, 2{n}, 4{n}, ; leurs coordonnées sont (2k{n}\,;\,2k{n}).