Du cercle trigonométrique au triangle rectangle

Énoncé

Dans un repère orthonormé d'origine O, on note M le point image de 5{6} sur le cercle trigonométrique, et P le point de la demi-droite [OM) tel que OP = 4. a) Donner les coordonnées exactes de M. b) En déduire celles de P. c) On note K le projeté orthogonal de P sur l'axe des abscisses. Calculer OK et KP, puis retrouver ces longueurs dans le triangle rectangle OKP, à l'aide de la mesure de l'angle KOP.

Correction

1. Étape 1 : Trois idées s'enchaînent. Ce qu'on utilise : 1. Le point image de x a pour coordonnées ( x\,;\, x). 2. P est sur la demi-droite [OM), quatre fois plus loin de O que M : OP = 4\,OM. 3. Dans un triangle rectangle, = {adjacent}{hypoténuse} et = {opposé}{hypoténuse}. La question c) montre que le cosinus du cercle et celui du triangle rectangle disent la même chose.
2. Étape 2 : a) On place d'abord le point : 5{6} = - {6}, donc M est le symétrique de M({6}) par rapport à l'axe des ordonnées, dans le quart en haut à gauche. L'abscisse change de signe, l'ordonnée est conservée : [formule]

   M(-{3}{2}\,;\,1{2})

3. Étape 3 : b) P est sur la demi-droite [OM) et OP = 4 = 4 OM, donc OP = 4\,OM : on multiplie les coordonnées de M par 4.

   P(-23\,;\,2)

4. Étape 4 : c) K a la même abscisse que P et une ordonnée nulle : K(-23\,;\,0). Donc [formule] Le triangle OKP est rectangle en K, d'hypoténuse OP = 4. L'angle KOP est l'angle entre la demi-droite des abscisses négatives et [OP) : il vaut - 5{6} = {6}, soit 30°. On retrouve alors : [formule] Les deux calculs concordent ✓.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Donner à P les coordonnées (5{6}\,;\,5{6}). Ce sont celles de M, sur le cercle de rayon 1 ; P est à la distance 4 de O, et l'on aurait trouvé OP = 1 au lieu de 4. À retenir : Retiens-le : le point situé à la distance R de O, dans la direction du point image de x, a pour coordonnées (R x\,;\,R x). Le cercle trigonométrique te sert de modèle pour tous les cercles centrés en O.