Angles associés à π/5

Énoncé

On admet que {5} = 1 + {5}{4}. a) Placer sur le cercle trigonométrique le point image de {5}, puis ceux de -{5}, 4{5} et 6{5}. b) Exprimer le cosinus et le sinus de -{5}, 4{5} et 6{5} à l'aide de {5} et de {5}. c) Calculer la valeur exacte de {5}. d) En déduire les valeurs exactes de 4{5} et de 6{5}.

Correction

1. Étape 1 : {5} n'est pas une valeur remarquable, mais la méthode des angles associés ne s'en soucie pas : elle repose sur des symétries, valables pour tout réel x. Les symétries du cercle : - M(-x) est le symétrique de M(x) par rapport à l'axe des abscisses ; - M( - x) est son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; - M( + x) est son symétrique par rapport à l'origine O. Il faut d'abord reconnaître, dans chaque réel, la forme -x, - x ou + x, avec x = {5}.
2. Étape 2 : a) {5} représente un cinquième de demi-tour, soit 36° : le point est dans le quart en haut à droite, un peu après la graduation {6} (30°). - -{5} : même longueur dans le sens indirect, donc symétrique par rapport à l'axe des abscisses ; - 4{5} = - {5} : symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; - 6{5} = + {5} : symétrique par rapport à l'origine.
3. Étape 3 : b) Chaque symétrie dit quelle coordonnée change de signe : - (-{5}) = {5} et (-{5}) = -{5} ; - 4{5} = -{5} et 4{5} = {5} ; - 6{5} = -{5} et 6{5} = -{5}. Contrôle sur la figure : M(4{5}) est à gauche (cosinus négatif) et en haut (sinus positif). ✓
4. Étape 4 : c) On connaît le cosinus et l'on cherche le sinus : c'est le rôle de ^2 x + ^2 x = 1. D'abord le carré du cosinus, avec l'identité (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 : [formule] Donc [formule] Le point est dans la moitié haute, donc {5} > 0, et :

   {5} = {10 - 2{5}}{4} 0{,}588

5. Étape 5 : d) Il suffit de remplacer dans les résultats de b) : [formule] [formule] Contrôle numérique : 1 + {5}{4} 0{,}809 et, à la calculatrice, 36° 0{,}809 ✓ ; {10 - 2{5}}{4} 0{,}588 et 36° 0{,}588 ✓.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Développer (1 + 5)^2 en 1 + 5 = 6, en oubliant le double produit 25. On obtiendrait ^2{5} = 10{16}, soit {5} 0{,}79 — impossible : 36° est plus petit que 45°, donc son sinus doit être inférieur à {4} 0{,}71. À retenir : Les angles associés valent pour tous les réels, pas seulement ceux du tableau : dès que tu connais le cosinus et le sinus d'un réel, tu les connais pour toute sa famille de symétriques.