Signe du cosinus et du sinus
Énoncé
Sans calculatrice et sans calculer aucune valeur, donner le signe de x et de x pour chacun des réels suivants :
a) 3{4}
b) -{3}
c) 7{6}
d) 2{5}
e) -4{5}
f) 9{5}
Correction
- Étape 1 : Le signe d'un cosinus ou d'un sinus ne demande aucune valeur : il se lit sur la position du point.
Le signe se lit sur le cercle :
x est l'abscisse de M(x) : positif à droite de l'axe des ordonnées, négatif à gauche.
x est l'ordonnée de M(x) : positif au-dessus de l'axe des abscisses, négatif en dessous.
Il suffit donc de situer chaque point dans l'un des quatre quarts du cercle, en comparant le réel à {2}, et -{2}.
- Étape 2 : a) {2} < 3{4} < : quart en haut à gauche. Donc x < 0 et x > 0.
b) -{2} < -{3} < 0 : sens indirect, moins d'un quart de tour, quart en bas à droite. Donc x > 0 et x < 0.
c) < 7{6} < 3{2} : on a dépassé le demi-tour, quart en bas à gauche. Donc x < 0 et x < 0.
- Étape 3 : Les trois derniers réels ne sont pas des valeurs remarquables : peu importe, seule la position compte.
d) 2{5} = 0{,}4 est entre 0 et {2} = 0{,}5 : quart en haut à droite. Donc x > 0 et x > 0.
e) -4{5} = -0{,}8 est entre - et -{2} : sens indirect, plus d'un quart de tour, quart en bas à gauche. Donc x < 0 et x < 0.
f) 9{5} = 1{,}8 dépasse le demi-tour ; on retire un tour : 9{5} - 2 = -{5}, entre -{2} et 0, quart en bas à droite. Donc x > 0 et x < 0.
- Étape 4 : En résumé :
| réel | x | x |
| --- | --- | --- |
| 3{4} | - | + |
| -{3} | + | - |
| 7{6} | - | - |
| 2{5} | + | + |
| -4{5} | - | - |
| 9{5} | + | - |
- Étape 5 : L'erreur classique :
Déduire le signe de x du signe de x lui-même. 3{4} est positif, et pourtant 3{4} < 0 : le signe dépend de la position du point, pas du signe du réel.
À retenir :
Avant tout calcul de cosinus ou de sinus, place le point : tu connaîtras le signe du résultat, ce qui permet de contrôler le calcul qui suit.