Démontrer les valeurs en π/4 et π/3

Énoncé

On note O le centre du cercle trigonométrique, I(1\,;\,0), et M_1, M_2 les points images de {4} et de {3}. a) Justifier que {4} = {4}, puis calculer cette valeur commune. b) Démontrer que le triangle OIM_2 est équilatéral. c) En déduire {3}, puis {3}.

Correction

1. Étape 1 : Ces démonstrations sont au programme : il faut savoir retrouver les valeurs remarquables, pas seulement les réciter. Deux outils suffisent. Les deux outils : 1. M(x) a pour coordonnées ( x\,;\, x) et se trouve à la distance 1 de O, donc ^2 x + ^2 x = 1. 2. Dans un triangle équilatéral, la hauteur issue d'un sommet est aussi la médiane : son pied est le milieu du côté opposé.
2. Étape 2 : a) {4} est la moitié d'un quart de tour : M_1 est sur la bissectrice du premier quart, la droite d'équation y = x. Ses deux coordonnées sont donc égales : {4} = {4}. Notons c cette valeur commune. La relation ^2 x + ^2 x = 1 donne c^2 + c^2 = 1, soit c^2 = 1{2}. Or M_1 est dans le quart en haut à droite, donc c > 0 : [formule]

   {4} = {4} = {2}{2}

3. Étape 3 : b) OI = 1 et OM_2 = 1, car ce sont deux rayons du cercle : le triangle OIM_2 est isocèle en O. Son angle au sommet IOM_2 mesure {3} rad, soit 60°. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux ; comme la somme des trois angles vaut 180°, chacun d'eux mesure 180° - 60°{2} = 60°. Les trois angles valent 60° : le triangle OIM_2 est équilatéral.
4. Étape 4 : c) Soit H le projeté orthogonal de M_2 sur l'axe des abscisses. Par définition, {3} est l'abscisse de M_2, c'est-à-dire la longueur OH. Dans le triangle équilatéral OIM_2, [M_2H] est la hauteur issue de M_2 ; c'est aussi la médiane, donc H est le milieu de [OI], et OH = 1{2} : [formule] Puis, comme M_2 est dans la moitié haute, {3} > 0, et [formule]

   {3} = 1{2} {3} = {3}{2}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier de justifier le signe en prenant une racine carrée. L'équation c^2 = 1{2} a aussi la solution -{2}{2}, qui est le cosinus de 3{4} : c'est la position du point, dans le premier quart, qui permet de l'écarter. À retenir : Si tu oublies une valeur le jour d'un contrôle sans calculatrice, tu la reconstruis en deux lignes : la bissectrice pour {4}, le triangle équilatéral pour {3}, puis la symétrie par rapport à la bissectrice, qui échange cosinus et sinus, pour {6}.