Même point image ?

Énoncé

Parmi les réels suivants, lesquels ont le même point image que {3} sur le cercle trigonométrique ? Justifier. [formule]

Correction

1. Étape 1 : Placer six points serait long, et risqué pour 61{3}. On utilise plutôt le critère de l'enroulement. Critère : Deux réels x et y ont le même point image si et seulement si leur différence x - y est un multiple entier de 2 : il existe un entier k tel que x - y = 2k. On calcule donc, pour chaque réel, sa différence avec {3}, et l'on regarde si c'est un nombre entier de fois 2.
2. Étape 2 : Tous les réels s'écrivent p{3} avec p entier. Leur différence avec {3} vaut [formule] Comme 2 = 6{3}, c'est un multiple entier de 2 exactement quand p - 1 est un multiple de 6.
3. Étape 3 : On teste chaque valeur de p : | réel | p - 1 | multiple de 6 ? | | --- | --- | --- | | 7{3} | 6 | oui, k = 1 | | -5{3} | -6 | oui, k = -1 | | 4{3} | 3 | non | | 13{3} | 12 | oui, k = 2 | | -2{3} | -3 | non | | 61{3} | 60 | oui, k = 10 | Les réels 7{3}, -5{3}, 13{3} et 61{3} ont le même point image que {3}.
4. Étape 4 : Et les deux autres ? Pour 4{3} et -2{3}, la différence vaut ou - : un demi-tour. Leur point image est le point diamétralement opposé à M({3}), dans le quart en bas à gauche.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Croire que deux réels qui diffèrent de ont la même image. 4{3} = {3} + a pour image le point opposé : un demi-tour ne ramène pas au point de départ, il faut un tour entier, 2. À retenir : Quand tes réels ont le même dénominateur q, fais le test sur les numérateurs : leur différence doit être un multiple de 2q.