Simplifier des fractions

Énoncé

Simplifier les fractions suivantes : a) 36{48} b) 75{105} c) 24{60}

Indice : Cherche le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis divise les deux par ce nombre.

Correction

1. Étape 1 : Simplifier une fraction, c'est diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre. La fraction obtenue est égale à celle de départ : on ne change pas sa valeur, seulement son écriture. Deux façons de faire, l'une plus rapide, l'autre plus sûre : Par étapes : diviser par 2, puis par 3, puis par 5… tant que c'est possible. Plus long, mais impossible à rater. Par le PGCD : une seule division, mais il faut d'abord trouver le plus grand diviseur commun. 👉 Les deux donnent le même résultat final. En Seconde, la méthode par étapes est parfaitement acceptable — et souvent plus rapide que de chercher le PGCD.
2. Étape 2 : a) 36{48} Les diviseurs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ; ceux de 48 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Le plus grand qu'ils partagent est 12. 36{48} = 36 12{48 12} = 3{4} Par étapes, on aurait obtenu la même chose : 36{48} = 18{24} = 9{12} = 3{4} (deux divisions par 2, puis une par 3 — et 2 2 3 = 12, le PGCD).

   36{48} = 3{4}

3. Étape 3 : b) 75{105} Les deux se terminent par 5, donc sont divisibles par 5 : 75{105} = 15{21}. Puis 15 = 3 5 et 21 = 3 7 : on divise encore par 3. 15{21} = 5{7} (Le PGCD était donc 5 3 = 15.)

   75{105} = 5{7}

4. Étape 4 : c) 24{60} 24{60} = 12{30} = 6{15} = 2{5} (deux divisions par 2, puis une par 3). Comment savoir qu'on a fini ? Une fraction est irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1. Ici 2 et 5 sont tous deux premiers et distincts : c'est terminé. Contrôle sur les trois résultats : 3 et 4 ✓ · 5 et 7 ✓ · 2 et 5 ✓

   24{60} = 2{5}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Simplifier une somme comme on simplifie un produit, par exemple écrire 3 + 6{6} = 3 + 1{1} = 4. C'est faux : 3+6{6} = 9{6} = 3{2}. On ne simplifie que des facteurs, jamais des termes d'une addition. Le repère : on ne peut barrer un nombre que s'il multiplie tout le numérateur et tout le dénominateur. À retenir : Diviser par étapes vaut autant que diviser par le PGCD, et se rate moins. S'arrêter quand numérateur et dénominateur n'ont plus de diviseur commun — et le vérifier, plutôt que de le supposer.