Longueur d'arc : l'aiguille d'une horloge

Énoncé

La grande aiguille d'une horloge mesure 12 cm. a) De quel angle, en radians, tourne-t-elle en 20 minutes ? Dans quel sens du cercle trigonométrique ? b) Quelle longueur d'arc son extrémité parcourt-elle en 20 minutes ? Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au millimètre. c) Combien de temps faut-il à son extrémité pour parcourir 10 cm ? Donner le résultat à la seconde près.

Correction

1. Étape 1 : Deux idées se combinent : un tour complet vaut 2 radians, et la longueur d'un arc est proportionnelle à l'angle qui l'intercepte. Longueur d'arc : Sur un cercle de rayon R, un angle au centre de radians intercepte un arc de longueur = R. Ici, l'extrémité de l'aiguille décrit un cercle de rayon R = 12 cm.
2. Étape 2 : a) La grande aiguille fait un tour complet en 60 minutes. En 20 minutes, elle en fait 20{60} = 1{3} : [formule] Elle tourne dans le sens des aiguilles d'une montre — par définition ! — c'est-à-dire dans le sens indirect du cercle trigonométrique.

   = 2{3} rad

3. Étape 3 : b) On applique = R avec R = 12 et = 2{3} : [formule] Contrôle de vraisemblance : le tour complet mesure 2 12 75{,}4 cm, et un tiers de tour en représente bien le tiers.

   = 8 25{,}1 cm

4. Étape 4 : c) On renverse la formule. Pour un arc de 10 cm, l'angle parcouru est [formule] L'aiguille parcourt 2 radians en 60 minutes, et le temps est proportionnel à l'angle, donc [formule] Reste à convertir la partie décimale : 0{,}958 60 57 s. Il faut donc environ 7 minutes et 57 secondes à l'extrémité de l'aiguille pour parcourir 10 cm.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Utiliser des degrés dans = R. Avec = 120, on trouverait = 1\,440 cm : plus de 14 mètres pour un tiers de tour d'une aiguille de 12 cm ! La formule n'est vraie qu'avec un angle en radians. À retenir : Le radian est l'unité qui rend la longueur d'arc simple : = R, sans aucun facteur. Dès qu'une longueur d'arc apparaît, convertis d'abord l'angle en radians.