Ramener un réel dans un tour, puis le placer

Énoncé

Pour chacun des réels suivants, déterminer le réel de ]-\,;\,] qui a le même point image, puis placer ce point sur le cercle trigonométrique. a) 9{4} b) -7{3} c) 31{4} d) -11{2} e) 2026

Indice : Ajoute ou retire des multiples de 2 : le point image ne change pas. Écris 2 avec le même dénominateur que le réel pour compter les tours.

Correction

1. Étape 1 : Ces réels dépassent un tour, ou sont très négatifs : on ne peut pas les placer en comptant des graduations. On utilise la propriété fondamentale de l'enroulement. Même point image : Pour tout réel x et tout entier relatif k, les réels x et x + 2k ont le même point image : faire k tours de plus, ou de moins, ramène au même endroit. On cherche donc l'entier k tel que x + 2k tombe dans ]-\,;\,]. L'astuce : écrire 2 avec le même dénominateur que x, pour compter les tours sur les numérateurs.
2. Étape 2 : a) 2 = 8{4}, donc on retire un tour : [formule] Le point image est sur la bissectrice du quart en haut à droite. b) 2 = 6{3}. Le réel est négatif, donc on ajoute un tour : [formule] Le point est dans le quart en bas à droite, deux sixièmes de demi-tour sous I : on passe la graduation -{6}, puis celle de -{4}, et l'on s'arrête à la suivante.
3. Étape 3 : c) 2 = 8{4}. Combien de tours dans 31{4} ? Comme 31 = 32 - 1 et 32{4} = 4 2 : [formule] On retire quatre tours : 31{4} a la même image que -{4}, sur la bissectrice du quart en bas à droite. Retirer seulement trois tours donnerait 31{4} - 24{4} = 7{4} : c'est le même point, mais 7{4} > , donc ce réel n'est pas dans l'intervalle demandé.
4. Étape 4 : d) 2 = 4{2}. On ajoute des tours jusqu'à entrer dans ]-\,;\,] ; il en faut trois : [formule] Le point image est J(0\,;\,1). e) 2026 = 1013 2 : c'est un nombre entier de tours. On revient exactement au point de départ, I(1\,;\,0), qui est l'image de 0. Les cinq points :
5. Étape 5 : L'erreur classique : Se tromper d'un tour en calculant de tête. Pour c), on retire souvent trois tours et l'on répond 7{4} : le point est juste, mais le réel n'est pas dans ]-\,;\,]. Un dernier contrôle évite l'erreur : vérifier que le résultat est bien entre - et . À retenir : Avant de calculer, estime le nombre de tours : pour p{q}, il est proche de p{2q}. Pour 31{4}, 31{8} 3{,}9 : tu retires 4 tours.