Repérer le réel associé à un point

Énoncé

Les points A, B, C, D, E et F sont placés sur les graduations du cercle trigonométrique ci-dessous (graduations tous les {6} et aux multiples de {4}). Pour chacun d'eux, donner le réel de l'intervalle ]-\,;\,] dont il est le point image.

Correction

1. Étape 1 : On fait le chemin inverse du placement : on part de I et on mesure l'arc jusqu'au point, en sixièmes ou en quarts de demi-tour (attention : les graduations en {4} s'intercalent entre celles en {6}, elles ne sont pas régulières), dans le sens direct si le point est dans la moitié haute, dans le sens indirect s'il est dans la moitié basse. C'est ainsi que le réel trouvé reste dans ]-\,;\,]. Un point, une infinité de réels : Un point du cercle est l'image d'une infinité de réels, qui diffèrent tous d'un multiple de 2. Dans l'intervalle ]-\,;\,], de longueur 2, il y en a exactement un.
2. Étape 2 : La moitié haute — on tourne dans le sens direct, donc les réels sont positifs. - A est à deux sixièmes de demi-tour après I (on passe les graduations {6} et {4}, et l'on s'arrête à la suivante), avant J : A est l'image de 2{6} = {3}. - B est sur la bissectrice du quart en haut à gauche, à mi-chemin entre J et le point (-1\,;\,0) : B est l'image de {2} + {4} = 3{4}. - E est le point (-1\,;\,0), au bout d'un demi-tour : E est l'image de .
3. Étape 3 : La moitié basse — on tourne dans le sens indirect, donc les réels sont négatifs. - C est à une graduation sous I : C est l'image de -{6}. - F est sur la bissectrice du quart en bas à droite : F est l'image de -{4}. - D est dans le quart en bas à gauche, une graduation après le point (0\,;\,-1). Il a fallu un quart de tour, puis un sixième de demi-tour : D est l'image de -{2} - {6} = -3{6} - {6} = -2{3}.

   A : {3} B : 3{4} C : -{6} D : -2{3} E : F : -{4}

4. Étape 4 : Pourquoi l'intervalle compte. D est aussi l'image de -2{3} + 2 = 4{3}, obtenu en tournant dans le sens direct : c'est la réponse qu'on donnerait si l'on demandait un réel de [0\,;\,2[. Et E est l'image de et de -. L'intervalle ]-\,;\,] est ouvert en - et fermé en : c'est ce qui fait retenir .
5. Étape 5 : L'erreur classique : Répondre 4{3} pour D. Ce réel a bien D pour image, mais il n'est pas dans l'intervalle demandé : la réponse attendue est -2{3}. À retenir : Dans ]-\,;\,] : si le point est dans la moitié haute, ta réponse est positive ; s'il est dans la moitié basse, elle est négative. Tu connais le signe de la réponse avant même de mesurer l'arc.