Placer des points sur le cercle

Énoncé

Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, gradué tous les {6} et aux multiples de {4}, placer les points images des réels suivants : a) {2} b) c) -{2} d) {4} e) 2{3} f) -5{6}

Indice : Écris chaque réel comme une fraction de : p{q} représente p{q} d'un demi-tour. Le signe donne le sens.

Correction

1. Étape 1 : Placer le point image d'un réel x, c'est parcourir sur le cercle un arc de longueur |x| en partant de I : dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre) si x > 0, dans le sens indirect si x < 0. Les repères du tour : Un tour complet mesure 2, un demi-tour , un quart de tour {2}. Écrire x = p{q}, c'est dire que l'on parcourt p{q} d'un demi-tour. Les graduations sont placées tous les {6} (sixièmes de demi-tour) et aux multiples de {4} : chaque réel de l'exercice tombe sur l'une d'elles.
2. Étape 2 : a), b), c) — les points des axes. - {2} est un quart de tour dans le sens direct : on arrive en haut du cercle, au point J(0\,;\,1). - est un demi-tour : on arrive au point (-1\,;\,0), diamétralement opposé à I. - -{2} est négatif : on fait un quart de tour dans le sens indirect, donc vers le bas, jusqu'au point (0\,;\,-1).
3. Étape 3 : d) {4} est la moitié de {2} : on s'arrête à mi-chemin entre I et J, sur la bissectrice du quart en haut à droite. e) 2{3} = 4{6} : quatre sixièmes de demi-tour. Les trois premiers mènent à J, puisque 3{6} = {2} ; le quatrième fait dépasser J d'une graduation. Le point est dans le quart en haut à gauche, une graduation après J.
4. Étape 4 : f) -5{6} est négatif : on tourne dans le sens indirect, de cinq sixièmes de demi-tour. Après trois sixièmes, on est en bas, au point (0\,;\,-1) ; deux sixièmes de plus amènent dans le quart en bas à gauche, une graduation avant le point (-1\,;\,0). Voici les six points placés :
5. Étape 5 : L'erreur classique : Tourner dans le mauvais sens pour un réel négatif. Pour -5{6}, on placerait le point en haut à gauche — qui est en réalité l'image de 5{6}, le symétrique du bon point par rapport à l'axe des abscisses. À retenir : Contrôle-toi en une seconde : un réel de ]0\,;\,[ a son image dans la moitié haute du cercle, un réel de ]-\,;\,0[ dans la moitié basse.